Номер 3.21, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.21. Вычислите:

a) $\log_{4\sqrt{2}}\sin\frac{3\pi}{4}$;

б) $\log_{27}\operatorname{tg}\frac{7\pi}{6}$;

в) $\log_4\cos\frac{13\pi}{3}$;

г) $\operatorname{lg}\operatorname{ctg}\frac{25\pi}{4}$.

а) Для вычисления $\log_{4\sqrt{2}} \sin \frac{3\pi}{4}$ сначала найдем значение аргумента логарифма.
Значение синуса: $\sin \frac{3\pi}{4} = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Теперь представим основание логарифма и аргумент в виде степени числа 2.
Основание: $4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{1/2} = 2^{2 + 1/2} = 2^{5/2}$.
Аргумент: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2^{1/2}}{2^1} = 2^{1/2 - 1} = 2^{-1/2}$.
Таким образом, выражение можно переписать как $\log_{2^{5/2}} (2^{-1/2})$.
Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$, получаем:
$\log_{2^{5/2}} (2^{-1/2}) = \frac{-1/2}{5/2} \log_2 2 = \frac{-1/2}{5/2} \cdot 1 = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = -\frac{1}{5}$.
Ответ: $-\frac{1}{5}$.

б) Для вычисления $\log_{27} \tg \frac{7\pi}{6}$ найдем значение аргумента.
Значение тангенса: $\tg \frac{7\pi}{6} = \tg(\pi + \frac{\pi}{6}) = \tg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Представим основание и аргумент в виде степени числа 3.
Основание: $27 = 3^3$.
Аргумент: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{1/2}} = 3^{-1/2}$.
Выражение принимает вид: $\log_{3^3} (3^{-1/2})$.
По свойству логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$ имеем:
$\log_{3^3} (3^{-1/2}) = \frac{-1/2}{3} \log_3 3 = \frac{-1/2}{3} \cdot 1 = -\frac{1}{6}$.
Ответ: $-\frac{1}{6}$.

в) Для вычисления $\log_4 \cos \frac{13\pi}{3}$ найдем значение аргумента.
Используем периодичность косинуса (период $2\pi$): $\frac{13\pi}{3} = \frac{12\pi+\pi}{3} = 4\pi + \frac{\pi}{3}$.
Значение косинуса: $\cos \frac{13\pi}{3} = \cos(4\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
Представим основание и аргумент в виде степени числа 2.
Основание: $4 = 2^2$.
Аргумент: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Выражение принимает вид: $\log_{2^2} (2^{-1})$.
По свойству логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$ имеем:
$\log_{2^2} (2^{-1}) = \frac{-1}{2} \log_2 2 = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г) Для вычисления $\lg \ctg \frac{25\pi}{4}$ найдем значение аргумента. Символ $\lg$ обозначает десятичный логарифм, т.е. логарифм по основанию 10.
Используем периодичность котангенса (период $\pi$): $\frac{25\pi}{4} = \frac{24\pi+\pi}{4} = 6\pi + \frac{\pi}{4}$.
Значение котангенса: $\ctg \frac{25\pi}{4} = \ctg(6\pi + \frac{\pi}{4}) = \ctg \frac{\pi}{4} = 1$.
Теперь вычисляем логарифм: $\lg \ctg \frac{25\pi}{4} = \lg 1$.
Логарифм единицы по любому основанию (кроме 1) равен нулю.
$\lg 1 = \log_{10} 1 = 0$.
Ответ: $0$.