Номер 3.19, страница 108 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.19. Вычислите:

а) $5^{\log_{125} 27};$

б) $2^{\log_{16} 81};$

в) $32^{\log_{0.5} \sqrt[5]{45}};$

г) $1000^{\lg \sqrt[3]{7}}.$

а) $5^{\log_{125} 27}$
Для решения данного примера преобразуем основание логарифма и число под знаком логарифма.
Основание логарифма: $125 = 5^3$.
Число под знаком логарифма: $27 = 3^3$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$5^{\log_{5^3} 3^3}$
Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:
$\log_{5^3} 3^3 = \frac{3}{3} \log_5 3 = 1 \cdot \log_5 3 = \log_5 3$
Теперь исходное выражение принимает вид:
$5^{\log_5 3}$
Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$5^{\log_5 3} = 3$
Ответ: 3

б) $2^{\log_{16} 81}$
Преобразуем основание логарифма и число под знаком логарифма.
Основание логарифма: $16 = 2^4$.
Число под знаком логарифма: $81 = 3^4$.
Подставим эти значения в выражение:
$2^{\log_{2^4} 3^4}$
Применим свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:
$\log_{2^4} 3^4 = \frac{4}{4} \log_2 3 = \log_2 3$
Выражение упрощается до:
$2^{\log_2 3}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$2^{\log_2 3} = 3$
Ответ: 3

в) $32^{\log_{0,5} \sqrt[5]{45}}$
Представим основание степени, основание логарифма и его аргумент в удобном для вычислений виде.
Основание степени: $32 = 2^5$.
Основание логарифма: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Аргумент логарифма: $\sqrt[5]{45} = 45^{\frac{1}{5}}$.
Подставим все преобразования в исходное выражение:
$(2^5)^{\log_{2^{-1}} 45^{1/5}}$
Сначала упростим показатель степени, используя свойства логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:
$\log_{2^{-1}} 45^{1/5} = \frac{1/5}{-1} \log_2 45 = -\frac{1}{5} \log_2 45$
Теперь подставим упрощенный показатель обратно в выражение:
$(2^5)^{(-\frac{1}{5} \log_2 45)}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$2^{5 \cdot (-\frac{1}{5}) \log_2 45} = 2^{-1 \cdot \log_2 45} = 2^{-\log_2 45}$
Используя свойство $k \log_a b = \log_a b^k$:
$2^{\log_2 45^{-1}}$
Наконец, по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$2^{\log_2 45^{-1}} = 45^{-1} = \frac{1}{45}$
Ответ: $\frac{1}{45}$

г) $1000^{\lg \sqrt[3]{7}}$
Десятичный логарифм $\lg$ — это логарифм по основанию 10, то есть $\lg x = \log_{10} x$.
Преобразуем основание степени и аргумент логарифма.
Основание степени: $1000 = 10^3$.
Аргумент логарифма: $\sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}}$.
Подставим эти значения в выражение:
$(10^3)^{\lg(7^{1/3})}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, чтобы перемножить показатели:
$10^{3 \cdot \lg(7^{1/3})}$
Далее применим свойство логарифма $k \log_a b = \log_a b^k$, чтобы внести множитель 3 под знак логарифма:
$10^{\lg((7^{1/3})^3)}$
Упростим выражение под знаком логарифма:
$(7^{1/3})^3 = 7^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 7^1 = 7$
Выражение принимает вид:
$10^{\lg 7}$
Так как $\lg 7 = \log_{10} 7$, по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем:
$10^{\log_{10} 7} = 7$
Ответ: 7