Номер 3.9, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.9. Вычислите:

а) $36^{\log_6 2 + \log_6 7}$;

б) $(\sqrt{5})^{\log_5 18 - \log_5 3}$;

В) $0,01^{\lg 6 - \lg 2}$.

а) $36^{\log_6 2 + \log_6 7}$

Сначала упростим показатель степени, используя свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:

$\log_6 2 + \log_6 7 = \log_6(2 \cdot 7) = \log_6 14$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$36^{\log_6 14}$

Представим основание 36 как степень числа 6: $36 = 6^2$.

$(6^2)^{\log_6 14}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$6^{2 \log_6 14}$

Далее применим свойство логарифма $k \log_a b = \log_a(b^k)$:

$6^{\log_6(14^2)} = 6^{\log_6 196}$

Наконец, используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$6^{\log_6 196} = 196$

Ответ: 196

б) $(\sqrt{5})^{\log_5 18 - \log_5 3}$

Упростим показатель степени, используя свойство разности логарифмов с одинаковым основанием $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:

$\log_5 18 - \log_5 3 = \log_5(18/3) = \log_5 6$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$(\sqrt{5})^{\log_5 6}$

Представим основание $\sqrt{5}$ как степень числа 5: $\sqrt{5} = 5^{1/2}$.

$(5^{1/2})^{\log_5 6}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$5^{\frac{1}{2} \log_5 6}$

Далее применим свойство логарифма $k \log_a b = \log_a(b^k)$:

$5^{\log_5(6^{1/2})} = 5^{\log_5 \sqrt{6}}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем:

$5^{\log_5 \sqrt{6}} = \sqrt{6}$

Ответ: $\sqrt{6}$

в) $0,01^{\lg 6 - \lg 2}$

Запись $\lg$ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Сначала упростим показатель степени, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:

$\lg 6 - \lg 2 = \lg(6/2) = \lg 3$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$0,01^{\lg 3}$

Представим основание 0,01 как степень числа 10: $0,01 = 1/100 = 10^{-2}$.

$(10^{-2})^{\lg 3}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$10^{-2 \lg 3}$

Далее применим свойство логарифма $k \log_a b = \log_a(b^k)$:

$10^{\lg(3^{-2})} = 10^{\lg(1/9)}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ (для десятичного логарифма основание $a=10$) получаем:

$10^{\lg(1/9)} = 1/9$

Ответ: $1/9$