Номер вопрос 1, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Определите, рациональным или иррациональным числом является значение вы-

ражения:

а) $7^{\log_7 4}$;

б) $\log_3 \sqrt{3}$;

в) $\log_6 \sqrt{2} + \log_6 \sqrt{18}$;

г) $\left(\frac{1}{7}\right)^{\log_7 4}$.

Для определения, является ли значение выражения рациональным или иррациональным числом, необходимо упростить каждое выражение. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным.

а) $7^{\log_7 4}$

Для упрощения данного выражения используется основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$.

В нашем случае основание степени $a=7$ совпадает с основанием логарифма, а число под логарифмом $b=4$.

Следовательно, $7^{\log_7 4} = 4$.

Число 4 является целым, а любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби (например, $\frac{4}{1}$).

Ответ: рациональное число.

б) $\log_3 \sqrt{3}$

Сначала представим корень в виде степени: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.

Теперь выражение можно переписать так: $\log_3 (3^{\frac{1}{2}})$.

Используя свойство логарифма $\log_a (a^x) = x$, получаем:

$\log_3 (3^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}$.

Число $\frac{1}{2}$ представлено в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа, следовательно, это рациональное число.

Ответ: рациональное число.

в) $\log_6 \sqrt{2} + \log_6 \sqrt{18}$

Здесь мы имеем сумму логарифмов с одинаковым основанием. Воспользуемся свойством логарифма: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$.

$\log_6 \sqrt{2} + \log_6 \sqrt{18} = \log_6 (\sqrt{2} \cdot \sqrt{18})$.

Теперь вычислим произведение под знаком логарифма:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6$.

Таким образом, исходное выражение равно $\log_6 6$.

По определению логарифма, $\log_a a = 1$, значит, $\log_6 6 = 1$.

Число 1 является целым, а значит, и рациональным числом.

Ответ: рациональное число.

г) $(\frac{1}{7})^{\log_7 4}$

Представим основание степени $\frac{1}{7}$ как $7^{-1}$.

Выражение примет вид: $(7^{-1})^{\log_7 4}$.

По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$(7^{-1})^{\log_7 4} = 7^{-1 \cdot \log_7 4} = 7^{-\log_7 4}$.

Используем свойство логарифма $k \log_a b = \log_a (b^k)$:

$7^{-\log_7 4} = 7^{\log_7 (4^{-1})}$.

Теперь снова применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$7^{\log_7 (4^{-1})} = 4^{-1} = \frac{1}{4}$.

Число $\frac{1}{4}$ является обыкновенной дробью, следовательно, это рациональное число.

Ответ: рациональное число.