Номер 10, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Известно, что график функции $y = a^x (a > 0, a \ne 1)$ проходит выше прямой $y = 1$ при $x < 0$. Найдите сумму целых значений аргумента из области определения функции $y = \sqrt{a^{x^2 - 6x + 8} - 1}$.

1. Проанализируем условие, связанное с функцией $y = a^x$. Известно, что ее график проходит выше прямой $y=1$ при $x < 0$. Это можно записать в виде неравенства: $a^x > 1$ при $x < 0$.

Показательная функция $y=a^x$ (где $a > 0, a \neq 1$) может быть возрастающей или убывающей.

• Если $a > 1$, функция возрастает. Тогда при $x < 0$ выполняется неравенство $a^x < a^0$, то есть $a^x < 1$. Это противоречит условию.
• Если $0 < a < 1$, функция убывает. Тогда при $x < 0$ выполняется неравенство $a^x > a^0$, то есть $a^x > 1$. Это соответствует условию задачи.

Таким образом, мы определили, что основание степени $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$.

2. Теперь найдем область определения функции $y = \sqrt{a^{x^2 - 6x + 8} - 1}$. Область определения функции, содержащей квадратный корень, задается условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $a^{x^2 - 6x + 8} - 1 \ge 0$

Перенесем 1 в правую часть и представим ее в виде степени с основанием $a$: $a^{x^2 - 6x + 8} \ge 1$ $a^{x^2 - 6x + 8} \ge a^0$

Поскольку мы установили, что $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Это означает, что при сравнении показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный: $x^2 - 6x + 8 \le 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 + x_2 = 6$ $x_1 \cdot x_2 = 8$ Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 6x + 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции не положительны ($f(x) \le 0$) на отрезке между корнями. Таким образом, решением неравенства является промежуток $[2, 4]$. Это и есть область определения функции.

4. Найдем сумму целых значений аргумента из области определения. Область определения — это отрезок $[2, 4]$. Целые числа, которые принадлежат этому отрезку, — это 2, 3 и 4. Их сумма равна: $2 + 3 + 4 = 9$

Ответ: 9