Номер 7, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

7. Постройте график функции $y = 3^{x+2} - 9$ и опишите ее свойства.

Построение графика функции $y = 3^{x+2} - 9$

График данной функции можно построить на основе графика базовой показательной функции $y = 3^x$ с помощью геометрических преобразований.

1. Сначала строим график функции $y = 3^x$. Это стандартная возрастающая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось абсцисс).

2. Затем сдвигаем этот график на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Получаем график функции $y = 3^{x+2}$. Теперь кривая проходит через точку $(-2, 1)$, а асимптота не изменяется.

3. На последнем шаге сдвигаем график $y = 3^{x+2}$ на 9 единиц вниз вдоль оси Oy. Это и есть искомый график функции $y = 3^{x+2} - 9$. Горизонтальная асимптота смещается вниз на 9 единиц и становится прямой $y = -9$.

Для более точного построения найдем точки пересечения графика с осями координат:
- Пересечение с осью Oy: подставим $x=0$.
$y = 3^{0+2} - 9 = 3^2 - 9 = 9 - 9 = 0$.
Точка пересечения с осью Oy — $(0, 0)$.
- Пересечение с осью Ox: подставим $y=0$.
$0 = 3^{x+2} - 9 \implies 3^{x+2} = 9 \implies 3^{x+2} = 3^2 \implies x+2 = 2 \implies x = 0$.
Точка пересечения с осью Ox — $(0, 0)$.

График проходит через начало координат. Найдем еще несколько точек:
При $x=-1, y = 3^{-1+2} - 9 = 3 - 9 = -6$.
При $x=-2, y = 3^{-2+2} - 9 = 1 - 9 = -8$.
При $x=-3, y = 3^{-3+2} - 9 = \frac{1}{3} - 9 = -8\frac{2}{3}$.

Ответ: График функции представляет собой экспоненциальную кривую, сдвинутую на 2 единицы влево и 9 единиц вниз относительно графика $y=3^x$. График проходит через начало координат и имеет горизонтальную асимптоту $y=-9$. Изображение графика представлено выше.

Описание свойств функции $y = 3^{x+2} - 9$

1. Область определения: Выражение определено для любых действительных значений $x$, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Так как $3^{x+2} > 0$ для любого $x$, то $3^{x+2} - 9 > -9$. Следовательно, $E(y) = (-9; +\infty)$.
3. Четность и нечетность: Функция является функцией общего вида, так как $y(-x) = 3^{-x+2} - 9$, и $y(-x) \neq y(x)$, и $y(-x) \neq -y(x)$.
4. Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
5. Промежутки знакопостоянства:
- $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$;
- $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
6. Монотонность: Так как основание степени $3>1$, функция является строго возрастающей на всей области определения.
7. Экстремумы: Точки максимума и минимума отсутствуют.
8. Асимптоты: Имеется горизонтальная асимптота $y=-9$. Вертикальных асимптот нет.

Ответ: Основные свойства функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, $E(y) = (-9; +\infty)$; функция общего вида, строго возрастающая; ноль функции $x=0$; $y>0$ при $x>0$, $y<0$ при $x<0$; горизонтальная асимптота $y=-9$.