Номер 3.3, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.3. Найдите значение выражения:

а) $4^{\log_4 7}$;

б) $17^{\log_{17} \sqrt{2}} $;

в) $10^{\lg 5}$;

г) $\left(\frac{2}{5}\right)^{\log_{0.4} 3}$.

а) Для вычисления значения выражения $4^{\log_4 7}$ воспользуемся основным логарифмическим тождеством: $a^{\log_a b} = b$, где $a > 0$, $a \neq 1$, и $b > 0$.
В данном случае основание степени $a = 4$ и основание логарифма $a = 4$ совпадают. Число под знаком логарифма $b = 7$.
Следовательно, $4^{\log_4 7} = 7$.
Ответ: 7

б) Для вычисления значения выражения $17^{\log_{17} \sqrt{2}}$ также используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
Здесь основание степени $a = 17$ и основание логарифма $a = 17$ совпадают. Число под знаком логарифма $b = \sqrt{2}$.
Таким образом, $17^{\log_{17} \sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$

в) Выражение $10^{\lg 5}$ содержит десятичный логарифм. По определению, десятичный логарифм $\lg b$ — это логарифм по основанию 10: $\lg b = \log_{10} b$.
Таким образом, выражение можно переписать как $10^{\log_{10} 5}$.
Применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ с $a = 10$ и $b = 5$.
Получаем $10^{\log_{10} 5} = 5$.
Ответ: 5

г) Рассмотрим выражение $(\frac{2}{5})^{\log_{0,4} 3}$. Для применения основного логарифмического тождества необходимо, чтобы основание степени и основание логарифма были одинаковы.
Основание степени равно $\frac{2}{5}$. Основание логарифма равно $0,4$.
Преобразуем десятичную дробь $0,4$ в обыкновенную: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Теперь основания совпадают, и выражение принимает вид $(\frac{2}{5})^{\log_{\frac{2}{5}} 3}$.
Используя тождество $a^{\log_a b} = b$ с $a = \frac{2}{5}$ и $b = 3$, находим значение выражения.
$(\frac{2}{5})^{\log_{\frac{2}{5}} 3} = 3$.
Ответ: 3