Номер 3.7, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.7. Зная, что $\log_6 2 = a$, выразите через $a$ значение выражения:

a) $\log_6 12$;

б) $\log_6 72$;

в) $\log_6 3$;

г) $\log_6 18$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами логарифмов и данным условием $log_6 2 = a$. Основные свойства, которые нам понадобятся:

• Свойство логарифма произведения: $log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)$
• Свойство логарифма частного: $log_b(\frac{x}{y}) = log_b(x) - log_b(y)$
• Свойство логарифма степени: $log_b(x^k) = k \cdot log_b(x)$
• Свойство логарифма от основания: $log_b(b) = 1$

В нашем случае основание $b=6$.

а) $log_6 12$

Представим число 12 в виде произведения, одним из множителей которого является основание 6. Это $12 = 6 \cdot 2$.

Применим свойство логарифма произведения:

$log_6 12 = log_6 (6 \cdot 2) = log_6 6 + log_6 2$

Согласно свойствам логарифма, $log_6 6 = 1$. По условию задачи, $log_6 2 = a$.

Подставляем эти значения в выражение:

$log_6 12 = 1 + a$

Ответ: $a+1$

б) $log_6 72$

Представим число 72 в виде произведения с множителем, являющимся степенью основания 6. $72 = 36 \cdot 2 = 6^2 \cdot 2$.

Применяем свойство логарифма произведения и свойство логарифма степени:

$log_6 72 = log_6 (6^2 \cdot 2) = log_6(6^2) + log_6 2 = 2 \cdot log_6 6 + log_6 2$

Подставляем известные значения $log_6 6 = 1$ и $log_6 2 = a$:

$log_6 72 = 2 \cdot 1 + a = 2 + a$

Ответ: $a+2$

в) $log_6 3$

Чтобы найти $log_6 3$, мы можем представить 3 как частное $\frac{6}{2}$.

Применяем свойство логарифма частного:

$log_6 3 = log_6(\frac{6}{2}) = log_6 6 - log_6 2$

Подставляем известные значения $log_6 6 = 1$ и $log_6 2 = a$:

$log_6 3 = 1 - a$

Ответ: $1-a$

г) $log_6 18$

Представим число 18 в виде произведения $6 \cdot 3$.

Применяем свойство логарифма произведения:

$log_6 18 = log_6 (6 \cdot 3) = log_6 6 + log_6 3$

Мы знаем, что $log_6 6 = 1$. Значение $log_6 3$ мы нашли в пункте в): $log_6 3 = 1 - a$.

Подставляем эти значения:

$log_6 18 = 1 + (1 - a) = 2 - a$

Ответ: $2-a$