Номер 3.1, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.1. Примените свойства степени и найдите значение выражения:

а) $\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{-2}$;

б) $(0.81)^{-2}$;

в) $\sqrt[3]{8^2} : 2^1$;

г) $2^{x-2} \cdot 2^{2-x} : 2^{-1} : 2^{\frac{1}{2}}$.

Чтобы найти значение выражения $(\frac{\sqrt{10}}{3})^{-2}$, воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ или, в случае с дробью, $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Затем применим свойство возведения дроби в степень $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

$(\frac{\sqrt{10}}{3})^{-2} = (\frac{3}{\sqrt{10}})^{2} = \frac{3^2}{(\sqrt{10})^2} = \frac{9}{10} = 0,9$.

Ответ: $0,9$

Для выражения $(0,81)^{-2}$ представим десятичную дробь $0,81$ в виде квадрата числа $0,9$, то есть $0,81 = (0,9)^2$. Далее воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(0,81)^{-2} = ((0,9)^2)^{-2} = (0,9)^{2 \cdot (-2)} = (0,9)^{-4}$.

Теперь представим $0,9$ как обыкновенную дробь $\frac{9}{10}$ и применим свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{9}{10})^{-4} = (\frac{10}{9})^{4} = \frac{10^4}{9^4} = \frac{10000}{6561}$.

Ответ: $\frac{10000}{6561}$

Чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{8^2} : 2^1$, сначала выполним возведение в степень под корнем, а затем извлечем кубический корень.

$8^2 = 64$.

Выражение принимает вид: $\sqrt[3]{64} : 2^1$.

Кубический корень из $64$ равен $4$, так как $4^3 = 64$. Также $2^1 = 2$.

Теперь выполним деление: $4 : 2 = 2$.

Ответ: $2$

В выражении $2^{x-2} \cdot 2^{2-x} : 2^{-1} : 2^{\frac{1}{2}}$ все основания степеней одинаковы и равны 2. Применим свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$. Это позволяет нам сложить и вычесть показатели степеней.

$2^{x-2} \cdot 2^{2-x} : 2^{-1} : 2^{\frac{1}{2}} = 2^{(x-2) + (2-x) - (-1) - \frac{1}{2}}$.

Упростим выражение в показателе степени:

$(x-2) + (2-x) - (-1) - \frac{1}{2} = x - 2 + 2 - x + 1 - \frac{1}{2} = (x-x) + (-2+2) + 1 - \frac{1}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, исходное выражение равно $2^{\frac{1}{2}}$, что можно записать в виде корня.

$2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$