Номер 5, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

5. Решите уравнение:

а) $\left(\frac{2}{7}\right)^{x-2} = 3.5^{x+5};$

б) $\sqrt[5]{9^{x-7}} = \sqrt{3};$

в) $5^{x+1} + 5^{x+2} = 150;$

г) $100^x - 11 \cdot 10^x + 10 = 0.$

а) $(\frac{2}{7})^{x-2} = 3,5^{x+5}$

Первым шагом преобразуем десятичную дробь $3,5$ в обыкновенную: $3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$.
Заметим, что основания степеней $\frac{2}{7}$ и $\frac{7}{2}$ являются взаимно обратными числами, то есть $\frac{7}{2} = (\frac{2}{7})^{-1}$.
Подставим это в исходное уравнение:

$(\frac{2}{7})^{x-2} = ((\frac{2}{7})^{-1})^{x+5}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$(\frac{2}{7})^{x-2} = (\frac{2}{7})^{-1 \cdot (x+5)}$
$(\frac{2}{7})^{x-2} = (\frac{2}{7})^{-x-5}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x - 2 = -x - 5$
$x + x = -5 + 2$
$2x = -3$
$x = -\frac{3}{2}$
$x = -1,5$

Ответ: $-1,5$

б) $\sqrt[5]{9^{x-7}} = \sqrt{3}$

Представим обе части уравнения в виде степеней с одним основанием. В качестве общего основания выберем число 3.
Преобразуем левую часть: $\sqrt[5]{9^{x-7}} = (9^{x-7})^{\frac{1}{5}} = 9^{\frac{x-7}{5}} = (3^2)^{\frac{x-7}{5}} = 3^{\frac{2(x-7)}{5}}$.
Преобразуем правую часть: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.
Теперь уравнение имеет вид:

$3^{\frac{2(x-7)}{5}} = 3^{\frac{1}{2}}$

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{2(x-7)}{5} = \frac{1}{2}$

Решим полученное линейное уравнение, используя основное свойство пропорции:

$2 \cdot 2(x-7) = 5 \cdot 1$
$4(x-7) = 5$
$4x - 28 = 5$
$4x = 33$
$x = \frac{33}{4}$
$x = 8,25$

Ответ: $8,25$

в) $5^{x+1} + 5^{x+2} = 150$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать левую часть уравнения:

$5^x \cdot 5^1 + 5^x \cdot 5^2 = 150$
$5 \cdot 5^x + 25 \cdot 5^x = 150$

Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x (5 + 25) = 150$
$5^x \cdot 30 = 150$

Разделим обе части уравнения на 30:

$5^x = \frac{150}{30}$
$5^x = 5$

Так как $5 = 5^1$, получаем:

$x=1$

Ответ: $1$

г) $100^x - 11 \cdot 10^x + 10 = 0$

Заметим, что $100^x = (10^2)^x = (10^x)^2$. Перепишем уравнение в виде:

$(10^x)^2 - 11 \cdot 10^x + 10 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $10^x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 10^x$. Так как показательная функция $y=10^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 11t + 10 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 11, а их произведение равно 10. Корнями являются $t_1 = 1$ и $t_2 = 10$.
Либо решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81 = 9^2$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm 9}{2}$
$t_1 = \frac{11-9}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$t_2 = \frac{11+9}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$. Вернемся к исходной переменной $x$:

1) $10^x = t_1 = 1$
$10^x = 10^0$
$x = 0$

2) $10^x = t_2 = 10$
$10^x = 10^1$
$x = 1$

Ответ: $0; 1$