Номер 1, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Среди рисунков 20, а–г выберите тот, на котором изображен график функции $y = 0,25^x$.

Рис. 20

Для того чтобы определить, какой из графиков соответствует функции $y = 0,25^x$, проанализируем свойства этой функции и сравним их с представленными на рисунках графиками.

Заданная функция $y = 0,25^x$ является показательной функцией вида $y = a^x$ с основанием $a = 0,25$.

Определим ключевые свойства этой функции:

1. Характер монотонности. Так как основание $a = 0,25$ находится в интервале $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей своей области определения. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.
2. Область значений. Для любой показательной функции вида $y = a^x$ (где $a > 0$, $a \ne 1$) значения функции всегда положительны, т.е. $y > 0$. Следовательно, ее график должен быть расположен полностью выше оси абсцисс ($Ox$).
3. Контрольные точки. Найдем координаты нескольких точек, чтобы однозначно идентифицировать график:
   • При $x = 0$, $y = 0,25^0 = 1$. График проходит через точку $(0; 1)$.
   • При $x = 1$, $y = 0,25^1 = 0,25$. График проходит через точку $(1; 0,25)$.
   • При $x = -1$, $y = 0,25^{-1} = (\frac{1}{4})^{-1} = 4$. График проходит через точку $(-1; 4)$.
   • При $x = -2$, $y = 0,25^{-2} = (\frac{1}{4})^{-2} = 16$. График проходит через точку $(-2; 16)$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных графиков:

а) На этом рисунке изображен график возрастающей показательной функции. Она проходит через точку $(0; 1)$, но с увеличением $x$ значения $y$ возрастают, что противоречит свойству убывания функции $y = 0,25^x$. Этот вариант не подходит.

б) На этом рисунке изображен график убывающей показательной функции. Проверим, проходит ли он через наши контрольные точки:

• График пересекает ось ординат в точке $(0; 1)$.
• При $x = -1$ значение функции на графике равно $4$.
• При $x = 1$ значение функции на графике составляет $0,25$ (четверть единичного отрезка).

Все свойства и контрольные точки соответствуют функции $y = 0,25^x$. Этот вариант является правильным.

в) График на этом рисунке расположен полностью ниже оси абсцисс, что означает, что все значения $y$ отрицательны. Это противоречит свойству $y > 0$ для функции $y = 0,25^x$. Этот вариант не подходит.

г) На этом рисунке изображена прямая линия, которая является графиком линейной функции, а не показательной. Этот вариант не подходит.

Таким образом, график функции $y = 0,25^x$ изображен на рисунке б.

Ответ: б.