Номер 2.233, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.233. Решите уравнение:

a) $ \cos 5x + \cos 3x = 0; $

б) $ \sin 3x + \sin 7x = \sqrt{3} \cos 2x. $

а) $ \cos5x + \cos3x = 0 $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой суммы косинусов:

$ \cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2} $

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 3x $:

$ 2 \cos\frac{5x + 3x}{2} \cos\frac{5x - 3x}{2} = 0 $

$ 2 \cos\frac{8x}{2} \cos\frac{2x}{2} = 0 $

$ 2 \cos4x \cos x = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два случая:

1) $ \cos4x = 0 $

Это частный случай тригонометрического уравнения. Его решение:

$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Разделим обе части на 4:

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

2) $ \cos x = 0 $

Это также частный случай, его решение:

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin3x + \sin7x = \sqrt{3}\cos2x $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой суммы синусов в левой части:

$ \sin\alpha + \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2} $

Применим эту формулу, где $ \alpha = 7x $ и $ \beta = 3x $ (изменение порядка слагаемых не меняет сумму):

$ 2 \sin\frac{7x + 3x}{2} \cos\frac{7x - 3x}{2} = \sqrt{3}\cos2x $

$ 2 \sin\frac{10x}{2} \cos\frac{4x}{2} = \sqrt{3}\cos2x $

$ 2 \sin5x \cos2x = \sqrt{3}\cos2x $

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$ 2 \sin5x \cos2x - \sqrt{3}\cos2x = 0 $

$ \cos2x (2 \sin5x - \sqrt{3}) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два случая:

1) $ \cos2x = 0 $

Решение этого частного случая:

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

2) $ 2 \sin5x - \sqrt{3} = 0 $

$ 2 \sin5x = \sqrt{3} $

$ \sin5x = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Общее решение этого уравнения:

$ 5x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ 5x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Разделим обе части на 5:

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{15} + \frac{\pi k}{5} $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{15} + \frac{\pi k}{5} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.