Номер 2.228, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.228. Четвертый член геометрической прогрессии равен 2. Найдите произведение первых семи ее членов.

Пусть $b_n$ – последовательность членов геометрической прогрессии, где $b_1$ – первый член, а $q$ – знаменатель прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условию задачи, четвертый член прогрессии $b_4$ равен 2. Используя формулу, получаем:$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3 = 2$.

Требуется найти произведение первых семи членов прогрессии, которое обозначим как $P_7$:$P_7 = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot b_4 \cdot b_5 \cdot b_6 \cdot b_7$.

Выразим каждый из этих семи членов через $b_1$ и $q$:$P_7 = (b_1) \cdot (b_1 q) \cdot (b_1 q^2) \cdot (b_1 q^3) \cdot (b_1 q^4) \cdot (b_1 q^5) \cdot (b_1 q^6)$.

Теперь сгруппируем множители с $b_1$ и с $q$ и воспользуемся свойствами степеней (при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются):$P_7 = b_1^{1+1+1+1+1+1+1} \cdot q^{0+1+2+3+4+5+6}$.

Это можно упростить до:$P_7 = b_1^7 \cdot q^{21}$.

Сумма в показателе степени у $q$ равна $21$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем полученное выражение:$P_7 = b_1^7 \cdot (q^3)^7 = (b_1 \cdot q^3)^7$.

Мы знаем из условия, что $b_1 \cdot q^3 = b_4 = 2$. Подставим это значение в выражение для $P_7$:$P_7 = (2)^7$.

Осталось вычислить седьмую степень двойки:$2^7 = 128$.

Ответ: 128