Номер 2.232, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.232. Сравните числа:

а) $\sqrt[8]{10}$ и $\sqrt[4]{3}$;

б) $\sqrt{2\sqrt[3]{3}}$ и $\sqrt[3]{5}$;

в) $-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$ и $-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$.

а) Сравним числа $\sqrt[8]{10}$ и $\sqrt[4]{3}$.

Чтобы сравнить корни с разными показателями, приведем их к общему показателю. Наименьшее общее кратное для показателей 8 и 4 равно 8.

Первое число уже имеет показатель 8: $\sqrt[8]{10}$.

Преобразуем второе число, приведя его к корню с показателем 8. Для этого возведем подкоренное выражение в степень 2, а показатель корня умножим на 2:

$\sqrt[4]{3} = \sqrt[4 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[8]{9}$.

Теперь сравним полученные выражения: $\sqrt[8]{10}$ и $\sqrt[8]{9}$.

Так как функция $y=\sqrt[8]{x}$ является возрастающей на всей области определения, то большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Поскольку $10 > 9$, то $\sqrt[8]{10} > \sqrt[8]{9}$.

Следовательно, $\sqrt[8]{10} > \sqrt[4]{3}$.

Ответ: $\sqrt[8]{10} > \sqrt[4]{3}$.

б) Сравним числа $\sqrt{2\sqrt[3]{3}}$ и $\sqrt[3]{5}$.

Сначала упростим выражения, избавившись от вложенных корней и приведя их к общему показателю.

Упростим первое число. Внесем множитель 2 под знак внутреннего корня, возведя его в степень 3:

$\sqrt{2\sqrt[3]{3}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^3 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt[3]{8 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt[3]{24}}$.

Используя свойство корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$, получаем:

$\sqrt[2]{\sqrt[3]{24}} = \sqrt[6]{24}$.

Теперь приведем оба числа к общему показателю 6. Наименьшее общее кратное для показателей 6 и 3 равно 6.

Первое число: $\sqrt[6]{24}$.

Второе число: $\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^2} = \sqrt[6]{25}$.

Сравним подкоренные выражения: $24 < 25$.

Так как функция $y=\sqrt[6]{x}$ является возрастающей, то $\sqrt[6]{24} < \sqrt[6]{25}$.

Следовательно, $\sqrt{2\sqrt[3]{3}} < \sqrt[3]{5}$.

Ответ: $\sqrt{2\sqrt[3]{3}} < \sqrt[3]{5}$.

в) Сравним числа $-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$ и $-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$.

Оба числа являются отрицательными. Чтобы их сравнить, сначала сравним их модули (положительные значения): $\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$ и $\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$, а затем поменяем знак неравенства на противоположный.

Упростим оба выражения, приведя их к корню одного показателя.

Первое выражение: $\sqrt{2\sqrt[3]{6}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^3 \cdot 6}} = \sqrt{\sqrt[3]{8 \cdot 6}} = \sqrt{\sqrt[3]{48}} = \sqrt[6]{48}$.

Второе выражение: $\sqrt[3]{5\sqrt{2}} = \sqrt[3]{\sqrt{5^2 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{25 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{50}} = \sqrt[6]{50}$.

Теперь сравним полученные положительные числа $\sqrt[6]{48}$ и $\sqrt[6]{50}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $48 < 50$.

Так как функция $y=\sqrt[6]{x}$ является возрастающей, то $\sqrt[6]{48} < \sqrt[6]{50}$.

Значит, $\sqrt{2\sqrt[3]{6}} < \sqrt[3]{5\sqrt{2}}$.

Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный. Если $a < b$ (для $a,b > 0$), то $-a > -b$.

Следовательно, $-\sqrt{2\sqrt[3]{6}} > -\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$.

Ответ: $-\sqrt{2\sqrt[3]{6}} > -\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$.