Номер 2.237, страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.237*. Найдите область определения функции $y = \frac{6x - 18}{3x - x^2}$ и постройте ее график.

Дана функция $y = \frac{6x - 18}{3x - x^2}$. Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение имеет смысл. Данное выражение является дробью, поэтому его знаменатель не может быть равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль: $3x - x^2 = 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(3 - x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x = 0$ или $3 - x = 0$. Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = 0$ и $x = 3$. Запишем область определения $D(y)$ в виде объединения интервалов: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.

Упростим выражение для функции $y$, разложив числитель и знаменатель на множители. Числитель: $6x - 18 = 6(x - 3)$. Знаменатель: $3x - x^2 = x(3 - x) = -x(x - 3)$.

Подставим разложенные выражения в функцию: $y = \frac{6(x - 3)}{-x(x - 3)}$

При $x \neq 3$ (что соответствует области определения), мы можем сократить дробь на $(x - 3)$: $y = \frac{6}{-x} = -\frac{6}{x}$.

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = -\frac{6}{x}$ при условии, что $x \neq 3$. Графиком функции $y = -\frac{6}{x}$ является гипербола. Ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x = 0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y = 0$ (ось Ox).

Поскольку исходная функция не определена в точке $x = 3$, на графике будет "выколотая" точка (точка разрыва). Найдем координаты этой точки, подставив $x = 3$ в упрощенную функцию: $y(3) = -\frac{6}{3} = -2$. Значит, точка с координатами $(3; -2)$ не принадлежит графику.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек функции $y = -6/x$:

График представляет собой гиперболу, ветви которой находятся во второй и четвертой координатных четвертях и асимптотически приближаются к осям координат. На ветви в четвертой четверти имеется разрыв в точке с координатами $(3; -2)$, которая изображается на графике как "выколотая" точка.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = -\frac{6}{x}$ с выколотой точкой $(3; -2)$.