Номер 2.222, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.222. Воспользуйтесь свойствами степени с рациональным показателем и найдите значение выражения $49^{-\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{12}} : 7^{\frac{3}{4}}$.

Чтобы найти значение выражения $49^{-\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{12}} : 7^{\frac{3}{4}}$, необходимо последовательно применить свойства степени с рациональным показателем.

1. Первым шагом приведем все степени к общему основанию. Заметим, что число 49 является степенью числа 7, а именно $49 = 7^2$. Подставим это в исходное выражение:

$(7^2)^{-\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{12}} : 7^{\frac{3}{4}}$

2. Далее воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применим его к первому множителю:

$(7^2)^{-\frac{2}{3}} = 7^{2 \cdot (-\frac{2}{3})} = 7^{-\frac{4}{3}}$

3. Теперь все выражение записано с одним основанием 7:

$7^{-\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{12}} : 7^{\frac{3}{4}}$

4. Применим свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием. При умножении показатели степеней складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении — вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$). Это позволяет нам объединить все операции в показателе степени:

$7^{-\frac{4}{3} + \frac{1}{12} - \frac{3}{4}}$

5. Теперь вычислим значение показателя. Для этого необходимо сложить и вычесть дроби, приведя их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3, 12 и 4 — это 12.

$-\frac{4}{3} + \frac{1}{12} - \frac{3}{4} = -\frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = -\frac{16}{12} + \frac{1}{12} - \frac{9}{12}$

Выполним действия с числителями:

$\frac{-16 + 1 - 9}{12} = \frac{-15 - 9}{12} = \frac{-24}{12} = -2$

6. Таким образом, показатель степени равен -2. Исходное выражение упростилось до:

$7^{-2}$

7. По определению степени с отрицательным целым показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Вычислим окончательное значение:

$7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$

Ответ: $\frac{1}{49}$.