Номер 2.216, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.216. Среди рисунков 19, а–в выберите тот, на котором изображен график функции $f(x) = \text{ctg}x$.

Рис. 19

С помощью графика функции $f(x) = \text{ctg}x$ определите, верно ли, что:

Чтобы выбрать правильный график для функции $f(x) = \text{ctgx}$, рассмотрим ее ключевые свойства:

• Область определения: $x \neq \pi k$, где $k$ - любое целое число. В этих точках, таких как $..., -\pi, 0, \pi, ...$, у графика должны быть вертикальные асимптоты.
• Нули функции: $f(x) = 0$ в точках, где $\text{cos}x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число. Это точки $..., -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, ...$.
• Монотонность: Функция котангенса является убывающей на всей своей области определения.

Теперь проанализируем представленные графики:

• Рисунок а) изображает непрерывную периодическую функцию, ограниченную значениями -1 и 1. Это не график котангенса.
• Рисунок б) имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \pi k$ (например, $x=0, x=\pi, x=-\pi$). График пересекает ось Ox в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ (например, $x=\frac{\pi}{2}, x=-\frac{\pi}{2}$). На каждом интервале между асимптотами функция убывает. Этот график полностью соответствует свойствам функции $f(x) = \text{ctgx}$.
• Рисунок в) имеет асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ и возрастает на интервалах между ними, что характерно для функции $y=\text{tg}x$.

Таким образом, на рисунке б изображен график функции $f(x) = \text{ctgx}$.

Используя график на рисунке б, проверим истинность утверждений.

а) $f(\frac{\pi}{2}) = 0$
На графике б видно, что в точке $x = \frac{\pi}{2}$ кривая пересекает ось абсцисс. Это означает, что значение функции в этой точке равно нулю. Утверждение верно.
Ответ: верно.

б) $f(-\frac{5\pi}{6}) > 0$
Точка $x = -\frac{5\pi}{6}$ находится на оси абсцисс между $-\pi$ и $-\frac{\pi}{2}$. На этом интервале $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ график функции расположен выше оси $x$, следовательно, значения функции положительны. Утверждение верно.
Ответ: верно.

в) $f(0) = 0$
В точке $x=0$ у графика функции $f(x) = \text{ctgx}$ находится вертикальная асимптота. Это значит, что функция в этой точке не определена. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

г) $f(\frac{3\pi}{4}) > f(-\frac{3\pi}{4})$
Найдем значения функции в указанных точках по графику.
Точка $x = \frac{3\pi}{4}$ находится в интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$. На этом интервале график лежит ниже оси $x$, значит $f(\frac{3\pi}{4}) < 0$. (Точное значение: $\text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) = -1$).
Точка $x = -\frac{3\pi}{4}$ находится в интервале $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$. На этом интервале график лежит выше оси $x$, значит $f(-\frac{3\pi}{4}) > 0$. (Точное значение: $\text{ctg}(-\frac{3\pi}{4}) = 1$).
Неравенство $(-1) > 1$ является ложным. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.