Номер 2.209, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.209. Найдите область определения функции $y=\sqrt[4]{1-7^{x^2} \cdot 49^x}$.

Область определения функции $y = \sqrt[4]{1 - 7^{x^2} \cdot 49^x}$ находится из условия, что подкоренное выражение корня четной степени (в данном случае, четвертой) должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$1 - 7^{x^2} \cdot 49^x \ge 0$

Перенесем слагаемое с переменной в правую часть неравенства:

$1 \ge 7^{x^2} \cdot 49^x$

Для решения показательного неравенства приведем обе части к одному основанию. Заметим, что $49 = 7^2$.

Подставим это в неравенство:

$1 \ge 7^{x^2} \cdot (7^2)^x$

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$1 \ge 7^{x^2} \cdot 7^{2x}$

Далее, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:

$1 \ge 7^{x^2 + 2x}$

Теперь представим число $1$ как степень с основанием $7$:

$1 = 7^0$

Неравенство принимает вид:

$7^0 \ge 7^{x^2 + 2x}$

Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя). Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$0 \ge x^2 + 2x$

или, что то же самое:

$x^2 + 2x \le 0$

Это квадратичное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 2x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 2) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Графиком функции $f(x) = x^2 + 2x$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, значения функции $f(x)$ не положительны ($f(x) \le 0$) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-2, 0]$.

Это и есть искомая область определения функции.

Ответ: $x \in [-2, 0]$.