Номер 2.212, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.212. Решите неравенство
$\left(2^x - 64\right)\left(\left(\frac{1}{3}\right)^x - 27\right) \ge 0.$

Решим данное неравенство $(2^x - 64)((\frac{1}{3})^x - 27) \ge 0$ методом интервалов. Для этого сначала найдем значения $x$, при которых левая часть неравенства равна нулю.

Приравняем каждый из множителей к нулю:

1) $2^x - 64 = 0$

$2^x = 64$

Так как $64 = 2^6$, получаем:

$2^x = 2^6$

$x_1 = 6$

2) $(\frac{1}{3})^x - 27 = 0$

$(\frac{1}{3})^x = 27$

Представим $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$ и $27$ как $3^3$:

$(3^{-1})^x = 3^3$

$3^{-x} = 3^3$

$-x = 3$

$x_2 = -3$

Найденные точки $x = -3$ и $x = 6$ являются корнями левой части неравенства. Они разделяют числовую ось на три интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 6)$ и $(6, \infty)$. Определим знак выражения на каждом из этих интервалов.

Рассмотрим знак каждого множителя:

• Множитель $(2^x - 64)$. Функция $y=2^x$ является возрастающей, так как ее основание $2>1$. Следовательно, выражение $2^x - 64$ будет положительным при $x>6$ и отрицательным при $x<6$.
• Множитель $((\frac{1}{3})^x - 27)$. Функция $y=(\frac{1}{3})^x$ является убывающей, так как ее основание $0 < \frac{1}{3} < 1$. Следовательно, выражение $(\frac{1}{3})^x - 27$ будет положительным при $x<-3$ и отрицательным при $x>-3$.

Теперь определим знак всего произведения на интервалах, используя числовую прямую или таблицу:

• Интервал $(-\infty, -3)$:
  Знак $(2^x-64)$ - минус (т.к. $x<6$).
  Знак $((\frac{1}{3})^x-27)$ - плюс (т.к. $x<-3$).
  Знак произведения: $(-)\cdot(+) = (-)$.
• Интервал $(-3, 6)$:
  Знак $(2^x-64)$ - минус (т.к. $x<6$).
  Знак $((\frac{1}{3})^x-27)$ - минус (т.к. $x>-3$).
  Знак произведения: $(-)\cdot(-) = (+)$.
• Интервал $(6, \infty)$:
  Знак $(2^x-64)$ - плюс (т.к. $x>6$).
  Знак $((\frac{1}{3})^x-27)$ - минус (т.к. $x>-3$).
  Знак произведения: $(+)\cdot(-) = (-)$.

Поскольку исходное неравенство имеет вид $\ge 0$, нас интересуют промежутки, где выражение положительно или равно нулю. Выражение положительно на интервале $(-3, 6)$. Равенство нулю достигается в точках $x=-3$ и $x=6$.

Объединяя эти результаты, получаем решение неравенства: $x \in [-3, 6]$.

Ответ: $[-3, 6]$.