Номер 2.213, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.213. Решите неравенство $8 \cdot 3^x - 6^x + 2^x < 8$.

Перепишем исходное неравенство, перенеся все слагаемые в левую часть:

$8 \cdot 3^x - 6^x + 2^x - 8 < 0$

Представим $6^x$ как произведение $2^x \cdot 3^x$:

$8 \cdot 3^x - 2^x \cdot 3^x + 2^x - 8 < 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выполнить разложение на множители:

$(8 \cdot 3^x - 2^x \cdot 3^x) + (2^x - 8) < 0$

Вынесем общий множитель $3^x$ из первой скобки:

$3^x(8 - 2^x) + (2^x - 8) < 0$

Заметим, что $(2^x - 8) = -(8 - 2^x)$. Подставим это в неравенство:

$3^x(8 - 2^x) - (8 - 2^x) < 0$

Теперь вынесем общий множитель $(8 - 2^x)$ за скобки:

$(8 - 2^x)(3^x - 1) < 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующих уравнений, чтобы определить точки, в которых выражение меняет знак.

1) $8 - 2^x = 0 \implies 2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3$

2) $3^x - 1 = 0 \implies 3^x = 1 \implies 3^x = 3^0 \implies x = 0$

Корни $x=0$ и $x=3$ делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, \infty)$. Определим знак произведения $(8 - 2^x)(3^x - 1)$ на каждом из этих интервалов.

• Для интервала $(-\infty, 0)$, выберем пробную точку $x = -1$.

  Первый множитель: $8 - 2^{-1} = 8 - 0.5 = 7.5 > 0$.

  Второй множитель: $3^{-1} - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3} < 0$.

  Произведение $(+)(-) = (-)$. Следовательно, на этом интервале неравенство выполняется.

• Для интервала $(0, 3)$, выберем пробную точку $x = 1$.

  Первый множитель: $8 - 2^1 = 8 - 2 = 6 > 0$.

  Второй множитель: $3^1 - 1 = 2 > 0$.

  Произведение $(+)(+) = (+)$. Следовательно, на этом интервале неравенство не выполняется.

• Для интервала $(3, \infty)$, выберем пробную точку $x = 4$.

  Первый множитель: $8 - 2^4 = 8 - 16 = -8 < 0$.

  Второй множитель: $3^4 - 1 = 81 - 1 = 80 > 0$.

  Произведение $(-)(+) = (-)$. Следовательно, на этом интервале неравенство выполняется.

Объединяя интервалы, на которых неравенство выполняется, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.