Номер 2.214, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.214*. Решите неравенство:

а) $2^{|x|-1} \le 8;$

б) $0,7^{|x-3|} < \sqrt{0,7};$

В) $(\frac{1}{3})^{|x^2-12|} \le \frac{1}{81}.$

а) $2^{|x|-1} \le 8$

Перепишем правую часть неравенства в виде степени с основанием 2:

$8 = 2^3$

Неравенство принимает вид:

$2^{|x|-1} \le 2^3$

Так как основание степени 2 больше 1, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$|x|-1 \le 3$

$|x| \le 4$

Это неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x \le 4 \\ x \ge -4 \end{cases}$

Таким образом, решением является отрезок $[-4; 4]$.

Ответ: $x \in [-4; 4]$.

б) $0,7^{|x-3|} < \sqrt{0,7}$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 0,7:

$\sqrt{0,7} = 0,7^{1/2} = 0,7^{0,5}$

Неравенство принимает вид:

$0,7^{|x-3|} < 0,7^{0,5}$

Так как основание степени 0,7 находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$|x-3| > 0,5$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x-3 > 0,5$ или $x-3 < -0,5$

Решаем первое неравенство:

$x > 3 + 0,5$

$x > 3,5$

Решаем второе неравенство:

$x < 3 - 0,5$

$x < 2,5$

Объединяя решения, получаем:

$x \in (-\infty; 2,5) \cup (3,5; +\infty)$

Ответ: $x \in (-\infty; 2,5) \cup (3,5; +\infty)$.

в) $(\frac{1}{3})^{|x^2-12|} \le \frac{1}{81}$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$:

$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = (\frac{1}{3})^4$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{1}{3})^{|x^2-12|} \le (\frac{1}{3})^4$

Так как основание степени $\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$|x^2-12| \ge 4$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x^2-12 \ge 4$ или $x^2-12 \le -4$

Решаем первое неравенство:

$x^2 - 16 \ge 0$

$(x-4)(x+4) \ge 0$

Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.

Решаем второе неравенство:

$x^2 - 8 \le 0$

$(x-\sqrt{8})(x+\sqrt{8}) \le 0$

$(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2}) \le 0$

Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}]$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений этих двух неравенств.

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}] \cup [4; +\infty)$.