Номер 2.166, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.166. Решите неравенство, используя свойство монотонности показательной функции:

a) $3^{8x+2} > \frac{1}{9};$

б) $(\frac{3}{4})^{x-3} > 1\frac{1}{3};$

в) $5^x \le 7;$

г) $(\sqrt{5})^{x-6} < \frac{1}{5};$

д) $(\sqrt[7]{3})^{x+1} \ge \frac{1}{81};$

е) $(\sqrt[5]{10})^{x-8} < 0.01.$

а) $3^{8x+2} > \frac{1}{9}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 3. Правая часть: $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.

Неравенство принимает вид: $3^{8x+2} > 3^{-2}$.

Так как основание степени $a=3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$8x+2 > -2$

$8x > -2 - 2$

$8x > -4$

$x > -\frac{4}{8}$

$x > -\frac{1}{2}$

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}; +\infty)$.

б) $(\frac{3}{4})^{x-3} > 1\frac{1}{3}$

Преобразуем правую часть неравенства: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

Приведем обе части к одному основанию $\frac{3}{4}$. Правая часть: $\frac{4}{3} = (\frac{3}{4})^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{3}{4})^{x-3} > (\frac{3}{4})^{-1}$.

Так как основание степени $a=\frac{3}{4}$, где $0 < a < 1$, показательная функция $y=(\frac{3}{4})^t$ является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x-3 < -1$

$x < -1 + 3$

$x < 2$

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

в) $5^x \le 7$

Для решения этого неравенства прологарифмируем обе части по основанию 5. Так как основание логарифма $a=5 > 1$, функция $y = \log_5(t)$ является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется.

$\log_5(5^x) \le \log_5(7)$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, получаем:

$x \le \log_5(7)$

Ответ: $x \in (-\infty; \log_5(7)]$.

г) $(\sqrt{5})^{x-6} < \frac{1}{5}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 5.

Левая часть: $(\sqrt{5})^{x-6} = (5^{\frac{1}{2}})^{x-6} = 5^{\frac{x-6}{2}}$.

Правая часть: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $5^{\frac{x-6}{2}} < 5^{-1}$.

Так как основание степени $a=5 > 1$, показательная функция $y=5^t$ является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:

$\frac{x-6}{2} < -1$

$x-6 < -2$

$x < -2+6$

$x < 4$

Ответ: $x \in (-\infty; 4)$.

д) $(\sqrt[7]{3})^{x+1} \ge \frac{1}{81}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 3.

Левая часть: $(\sqrt[7]{3})^{x+1} = (3^{\frac{1}{7}})^{x+1} = 3^{\frac{x+1}{7}}$.

Правая часть: $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$.

Неравенство принимает вид: $3^{\frac{x+1}{7}} \ge 3^{-4}$.

Так как основание степени $a=3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:

$\frac{x+1}{7} \ge -4$

$x+1 \ge -28$

$x \ge -29$

Ответ: $x \in [-29; +\infty)$.

е) $(\sqrt[5]{10})^{x-8} < 0,01$

Приведем обе части неравенства к одному основанию 10.

Левая часть: $(\sqrt[5]{10})^{x-8} = (10^{\frac{1}{5}})^{x-8} = 10^{\frac{x-8}{5}}$.

Правая часть: $0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$.

Неравенство принимает вид: $10^{\frac{x-8}{5}} < 10^{-2}$.

Так как основание степени $a=10 > 1$, показательная функция $y=10^t$ является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:

$\frac{x-8}{5} < -2$

$x-8 < -10$

$x < -10+8$

$x < -2$

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.