Номер 2.163, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.163. Известно, что функция $f(x)$ возрастает на $\mathbb{R}$. Сравните:

а) $f(4)$ и $f(4,001)$;

б) $f(-1)$ и $f(-4)$;

в) $f(\sqrt{3})$ и $f(2)$;

г) $f(-\pi)$ и $f(-3)$.

По определению, возрастающая на множестве $\mathbb{R}$ функция — это функция, у которой для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Основываясь на этом определении, сравним значения функции в заданных точках.

а) f(4) и f(4,001)

Сравним аргументы функции: $4$ и $4,001$.

Очевидно, что $4 < 4,001$.

Так как функция $f(x)$ возрастает, то из неравенства для аргументов следует такое же неравенство для значений функции: $f(4) < f(4,001)$.

Ответ: $f(4) < f(4,001)$.

б) f(-1) и f(-4)

Сравним аргументы функции: $-1$ и $-4$.

На числовой прямой $-1$ находится правее, чем $-4$, следовательно, $-4 < -1$.

Так как функция $f(x)$ возрастает, то $f(-4) < f(-1)$.

Ответ: $f(-1) > f(-4)$.

в) f($\sqrt{3}$) и f(2)

Сравним аргументы функции: $\sqrt{3}$ и $2$.

Представим $2$ как $\sqrt{4}$. Теперь сравним подкоренные выражения: $3$ и $4$.

Так как $3 < 4$, то и $\sqrt{3} < \sqrt{4}$, что означает $\sqrt{3} < 2$.

Поскольку функция $f(x)$ возрастает, то из $\sqrt{3} < 2$ следует, что $f(\sqrt{3}) < f(2)$.

Ответ: $f(\sqrt{3}) < f(2)$.

г) f(-$\pi$) и f(-3)

Сравним аргументы функции: $-\pi$ и $-3$.

Сначала сравним положительные числа $\pi$ и $3$. Известно, что $\pi \approx 3,14159...$, поэтому $\pi > 3$.

При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число (в данном случае на $-1$), знак неравенства меняется на противоположный: $-\pi < -3$.

Так как функция $f(x)$ возрастает, то из $-\pi < -3$ следует, что $f(-\pi) < f(-3)$.

Ответ: $f(-\pi) < f(-3)$.