Номер 2.160, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.160. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

а) $7; 1; \frac{1}{7}; ...$

б) $5\sqrt{5}; 5; \sqrt{5}; ...$

а) Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель, при условии $|q| < 1$.
Для прогрессии $7; 1; \frac{1}{7}; ...$ имеем:
Первый член прогрессии $b_1 = 7$.
Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{1}{7}$.
Поскольку $|q| = |\frac{1}{7}| < 1$, данная прогрессия является бесконечно убывающей, и можно найти её сумму.
Подставляем значения в формулу:
$S = \frac{7}{1 - \frac{1}{7}} = \frac{7}{\frac{7-1}{7}} = \frac{7}{\frac{6}{7}} = 7 \cdot \frac{7}{6} = \frac{49}{6} = 8\frac{1}{6}$.
Ответ: $8\frac{1}{6}$.

б) Для прогрессии $5\sqrt{5}; 5; \sqrt{5}; ...$ используем ту же формулу.
Первый член прогрессии $b_1 = 5\sqrt{5}$.
Знаменатель прогрессии $q$ равен:
$q = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
Проверим условие: $|q| = |\frac{1}{\sqrt{5}}| < 1$, так как $\sqrt{5} > 1$. Условие выполняется, следовательно, сумму найти можно.
Подставляем значения в формулу:
$S = \frac{5\sqrt{5}}{1 - \frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{5\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}}} = \frac{5\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}-1} = \frac{25}{\sqrt{5}-1}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5}+1)$:
$S = \frac{25(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{25(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{25(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{25(\sqrt{5}+1)}{4}$.
Ответ: $\frac{25(\sqrt{5}+1)}{4}$.