Номер 2.156, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.156. Функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ заданы на отрезке $[-9; 10]$ графиками (рис. 17). Найдите все значения аргумента, при которых верно неравенство $g(x) \le f(x)$.

$y = g(x)$

$y = f(x)$

Рис. 17

2.156.

Нам необходимо найти все значения аргумента $x$ из отрезка $[-9; 10]$, для которых выполняется неравенство $g(x) \leq f(x)$. Геометрически это означает, что мы ищем такие значения $x$, при которых график функции $y = g(x)$ (изображен синей линией) находится на том же уровне или ниже, чем график функции $y = f(x)$ (изображен красной линией).

Для решения задачи проанализируем графики:

1. Найдем точки пересечения графиков. В этих точках значения функций равны, то есть $g(x) = f(x)$. Из рисунка видно, что графики пересекаются в трех точках. Найдем их абсциссы (координаты по оси $x$):

• Первая точка пересечения имеет абсциссу $x = -7$.
• Вторая точка пересечения имеет абсциссу $x = -1$.
• Третья точка пересечения имеет абсциссу $x = 8$.

В этих трех точках выполняется условие $g(x) = f(x)$, поэтому они входят в решение неравенства.

2. Найдем промежутки, на которых график функции $g(x)$ находится строго ниже графика функции $f(x)$, то есть где выполняется неравенство $g(x) < f(x)$.

• На промежутке от $x = -7$ до $x = -1$ синяя линия (график $g(x)$) проходит ниже красной линии (графика $f(x)$). Следовательно, для всех $x$ из интервала $(-7; -1)$ выполняется неравенство $g(x) < f(x)$.
• На промежутке от $x = 8$ до $x = 10$ синяя линия также проходит ниже красной. Следовательно, для всех $x$ из полуинтервала $(8; 10]$ выполняется неравенство $g(x) < f(x)$.

На других участках, а именно на $[-9; -7)$ и $(-1; 8)$, график $g(x)$ находится выше графика $f(x)$, поэтому эти промежутки не являются решением.

3. Объединим полученные результаты. Решением неравенства $g(x) \leq f(x)$ будут все точки и промежутки, где $g(x) = f(x)$ или $g(x) < f(x)$.

• Объединение точек $x = -7$, $x = -1$ и интервала $(-7; -1)$ дает отрезок $[-7; -1]$.
• Объединение точки $x = 8$ и полуинтервала $(8; 10]$ дает отрезок $[8; 10]$.

Итоговое решение — это объединение этих двух отрезков.

Ответ: $x \in [-7; -1] \cup [8; 10]$.