Номер 2.161, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.161. Для функции $f(x) = \cos^2 x$ найдите:

а) $f(\frac{\pi}{4});$

б) $f(\frac{\pi}{2});$

в) $f(\frac{2\pi}{3});$

г) $f(-\frac{5\pi}{4}).$

Дана функция $f(x) = \cos^2 x$. Чтобы найти значение функции в заданной точке, необходимо подставить значение аргумента $x$ в формулу функции. Запись $\cos^2 x$ означает $(\cos x)^2$.

а) Найдём значение функции $f(x)$ при $x = \frac{\pi}{4}$.
$f(\frac{\pi}{4}) = \cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\cos(\frac{\pi}{4}))^2$.
Известно, что табличное значение $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставляем это значение в выражение и возводим в квадрат:
$f(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Найдём значение функции $f(x)$ при $x = \frac{\pi}{2}$.
$f(\frac{\pi}{2}) = \cos^2(\frac{\pi}{2}) = (\cos(\frac{\pi}{2}))^2$.
Табличное значение $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Подставляем это значение:
$f(\frac{\pi}{2}) = (0)^2 = 0$.
Ответ: $0$.

в) Найдём значение функции $f(x)$ при $x = \frac{2\pi}{3}$.
$f(\frac{2\pi}{3}) = \cos^2(\frac{2\pi}{3}) = (\cos(\frac{2\pi}{3}))^2$.
Для нахождения значения $\cos(\frac{2\pi}{3})$ воспользуемся формулой приведения:
$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3})$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, то $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Теперь возводим в квадрат:
$f(\frac{2\pi}{3}) = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

г) Найдём значение функции $f(x)$ при $x = -\frac{5\pi}{4}$.
$f(-\frac{5\pi}{4}) = \cos^2(-\frac{5\pi}{4}) = (\cos(-\frac{5\pi}{4}))^2$.
Функция косинус является чётной, то есть $\cos(-a) = \cos(a)$. Поэтому:
$\cos(-\frac{5\pi}{4}) = \cos(\frac{5\pi}{4})$.
Далее используем формулу приведения:
$\cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4})$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставляем и возводим в квадрат:
$f(-\frac{5\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{(-\sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.