Номер 2.164, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.164. Известно, что функция $f(x)$ убывает на $R$. Сравните:

a) $f(1)$ и $f(1,001);$

б) $f(-1,1)$ и $f(-2);$

в) $f(-\sqrt{3})$ и $f(-1);$

г) $f(\frac{\pi}{2})$ и $f(1,5).$

По условию задачи, функция $f(x)$ является убывающей на множестве всех действительных чисел $R$. По определению, функция называется убывающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из ее области определения, из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Проще говоря, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Используем это свойство для сравнения предложенных пар значений.

а) Сравнить $f(1)$ и $f(1,001)$.
Сначала сравним аргументы: $1$ и $1,001$.
Так как $1 < 1,001$, а функция $f(x)$ убывает, то знак неравенства для значений функции меняется на противоположный.
Следовательно, $f(1) > f(1,001)$.
Ответ: $f(1) > f(1,001)$.

б) Сравнить $f(-1,1)$ и $f(-2)$.
Сначала сравним аргументы: $-1,1$ и $-2$.
Так как $-2 < -1,1$, а функция $f(x)$ убывает, то знак неравенства для значений функции меняется на противоположный.
Следовательно, $f(-2) > f(-1,1)$.
Ответ: $f(-1,1) < f(-2)$.

в) Сравнить $f(-\sqrt{3})$ и $f(-1)$.
Сначала сравним аргументы: $-\sqrt{3}$ и $-1$.
Мы знаем, что $\sqrt{3} \approx 1,732$, поэтому $\sqrt{3} > 1$.
Умножим обе части неравенства $\sqrt{3} > 1$ на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-\sqrt{3} < -1$.
Так как $-\sqrt{3} < -1$, а функция $f(x)$ убывает, то $f(-\sqrt{3}) > f(-1)$.
Ответ: $f(-\sqrt{3}) > f(-1)$.

г) Сравнить $f(\frac{\pi}{2})$ и $f(1,5)$.
Сначала сравним аргументы: $\frac{\pi}{2}$ и $1,5$.
Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,14159...$
Тогда $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14159}{2} \approx 1,5708$.
Сравнивая это значение с $1,5$, получаем: $1,5708 > 1,5$, то есть $\frac{\pi}{2} > 1,5$.
Так как $1,5 < \frac{\pi}{2}$, а функция $f(x)$ убывает, то знак неравенства для значений функции меняется на противоположный.
Следовательно, $f(1,5) > f(\frac{\pi}{2})$.
Ответ: $f(\frac{\pi}{2}) < f(1,5)$.