Номер 2.20, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.20. В одной системе координат постройте графики функций:

а) $y = 3^x$;

б) $y = 3^{x-2}$;

в) $y = 3^x + 4.

Для построения графика функции $y=3^x$ определим ее основные свойства и найдем несколько точек.

Это показательная функция с основанием $a=3$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей на всей своей области определения.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
• График не пересекает ось Ох. Ось Ох ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to -\infty$.
• График пересекает ось Оу в точке $(0, 1)$, так как $y(0) = 3^0 = 1$.

Составим таблицу значений для нескольких точек:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график функции $y=3^x$. Это будет кривая, проходящая через точку $(0,1)$, возрастающая и приближающаяся к оси Ох слева.

Ответ: График функции $y=3^x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точки $(-2, 1/9)$, $(-1, 1/3)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 9)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.

График функции $y = 3^{x-2}$ получается из графика функции $y=3^x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Ох на 2 единицы вправо.

Все точки графика $y=3^x$ смещаются на 2 единицы вправо. Например:

• Точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0+2, 1) = (2, 1)$.
• Точка $(1, 3)$ переходит в точку $(1+2, 3) = (3, 3)$.
• Точка $(-1, 1/3)$ переходит в точку $(-1+2, 1/3) = (1, 1/3)$.

Горизонтальная асимптота $y=0$ остается без изменений. Область определения и область значений также не меняются: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, $E(y) = (0; +\infty)$.

Найдем точку пересечения с осью Оу: при $x=0$, $y = 3^{0-2} = 3^{-2} = 1/9$. Точка пересечения — $(0, 1/9)$.

Ответ: График функции $y=3^{x-2}$ имеет ту же форму, что и график $y=3^x$, но сдвинут на 2 единицы вправо. Он проходит через точки $(0, 1/9)$, $(1, 1/3)$, $(2, 1)$, $(3, 3)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$.

График функции $y = 3^x + 4$ получается из графика функции $y=3^x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Оу на 4 единицы вверх.

Все точки графика $y=3^x$ смещаются на 4 единицы вверх. Например:

• Точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0, 1+4) = (0, 5)$.
• Точка $(1, 3)$ переходит в точку $(1, 3+4) = (1, 7)$.
• Точка $(-1, 1/3)$ переходит в точку $(-1, 1/3+4) = (-1, 4 \frac{1}{3})$.

Горизонтальная асимптота $y=0$ также сдвигается на 4 единицы вверх и становится прямой $y=4$. Область определения не меняется: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений сдвигается вверх: $E(y) = (4; +\infty)$.

Точка пересечения с осью Оу — это точка $(0, 5)$.

Ответ: График функции $y=3^x + 4$ имеет ту же форму, что и график $y=3^x$, но сдвинут на 4 единицы вверх. Он проходит через точки $(0, 5)$, $(1, 7)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=4$.

При построении в одной системе координат сначала строится основной график $y=3^x$. Затем, для получения графика $y=3^{x-2}$, он сдвигается вправо на 2. Для получения графика $y=3^x+4$, исходный график $y=3^x$ сдвигается вверх на 4. В результате получаются три кривые одинаковой формы, расположенные в разных частях координатной плоскости.