Номер 2.14, страница 53 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.14. Пользуясь свойствами показательной функции, сравните значения выражений:

а) $2^{-9}$ и $2^{-6,7}$;

б) $4^{-1,2}$ и $4^{0,01}$;

в) $\left(\frac{1}{3}\right)^0$ и $\left(\frac{1}{3}\right)^{-0,2}$;

г) $5^{\sqrt{3}}$ и $5^{1,7}$;

д) $0,2^{-\sqrt{5}}$ и $0,2^{-2,5}$.

а) $2^{-9}$ и $2^{-6,7}$
Для сравнения значений выражений воспользуемся свойствами показательной функции $y = a^x$.
В данном случае основание степени $a = 2$. Так как $a > 1$, функция $y = 2^x$ является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$ (большему значению аргумента соответствует большее значение функции).
Сравним показатели степеней: $-9$ и $-6,7$.
Поскольку $-9 < -6,7$, то из свойства возрастающей функции следует, что $2^{-9} < 2^{-6,7}$.

Ответ: $2^{-9} < 2^{-6,7}$.

б) $4^{-1,2}$ и $4^{0,01}$
Основание степени $a = 4$. Так как $a > 1$, показательная функция $y = 4^x$ является возрастающей. Большему значению показателя степени соответствует большее значение функции.
Сравним показатели степеней: $-1,2$ и $0,01$.
Так как $-1,2 < 0,01$, то и $4^{-1,2} < 4^{0,01}$.

Ответ: $4^{-1,2} < 4^{0,01}$.

в) $(\frac{1}{3})^0$ и $(\frac{1}{3})^{-0,2}$
Основание степени $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y = (\frac{1}{3})^x$ является убывающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$ (большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции).
Сравним показатели степеней: $0$ и $-0,2$.
Поскольку $0 > -0,2$, то, согласно свойству убывающей функции, $(\frac{1}{3})^0 < (\frac{1}{3})^{-0,2}$.

Ответ: $(\frac{1}{3})^0 < (\frac{1}{3})^{-0,2}$.

г) $5^{\sqrt{3}}$ и $5^{1,7}$
Основание степени $a = 5$. Так как $a > 1$, функция $y = 5^x$ является возрастающей. Большему показателю соответствует большее значение степени.
Сравним показатели $\sqrt{3}$ и $1,7$. Поскольку оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты: $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $(1,7)^2 = 2,89$.
Так как $3 > 2,89$, то $\sqrt{3} > 1,7$.
Следовательно, $5^{\sqrt{3}} > 5^{1,7}$.

Ответ: $5^{\sqrt{3}} > 5^{1,7}$.

д) $0,2^{-\sqrt{5}}$ и $0,2^{-2,5}$
Основание степени $a = 0,2$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y = 0,2^x$ является убывающей. Большему показателю соответствует меньшее значение степени.
Сравним показатели степеней: $-\sqrt{5}$ и $-2,5$. Для этого сначала сравним положительные числа $\sqrt{5}$ и $2,5$.
Возведем их в квадрат: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $(2,5)^2 = 6,25$.
Из неравенства $5 < 6,25$ следует, что $\sqrt{5} < 2,5$.
Умножив обе части последнего неравенства на $-1$, получим неравенство противоположного знака: $-\sqrt{5} > -2,5$.
Так как функция убывающая, а показатель $-\sqrt{5}$ больше показателя $-2,5$, то значение функции при большем показателе будет меньше: $0,2^{-\sqrt{5}} < 0,2^{-2,5}$.

Ответ: $0,2^{-\sqrt{5}} < 0,2^{-2,5}$.