Номер 2.2, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.2. Найдите значение степени:

а) $2^{-3}$;

б) $25^{-\frac{1}{2}};

в) $81^{\frac{3}{4}};

г) $121^{0,5};

д) $32^{1,2}$.

а)

Степень с отрицательным показателем определяется по формуле $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Применим эту формулу к выражению $2^{-3}$:

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$.

б)

Для вычисления данного выражения можно использовать два основных свойства степеней: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$.

Сначала избавимся от отрицательного показателя:

$25^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}}$

Затем вычислим степень с дробным показателем, которая эквивалентна квадратному корню:

$\frac{1}{25^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$

Альтернативный способ — представить основание 25 как степень $5^2$ и использовать свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$25^{-\frac{1}{2}} = (5^2)^{-\frac{1}{2}} = 5^{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$.

в)

Для вычисления степени с дробным показателем $a^{\frac{m}{n}}$ удобно сначала представить основание в виде степени с показателем, равным знаменателю дроби.

Число 81 можно представить как $3^4$.

$81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}}$

Далее используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3$

Вычислим результат:

$3^3 = 27$

Ответ: $27$.

г)

Десятичный показатель степени $0.5$ удобно представить в виде обыкновенной дроби: $0.5 = \frac{1}{2}$.

Тогда выражение принимает вид:

$121^{0.5} = 121^{\frac{1}{2}}$

Степень $\frac{1}{2}$ означает извлечение квадратного корня:

$121^{\frac{1}{2}} = \sqrt{121} = 11$

Также можно представить 121 как $11^2$ и использовать свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$121^{0.5} = (11^2)^{0.5} = 11^{2 \cdot 0.5} = 11^1 = 11$

Ответ: $11$.

д)

Представим десятичный показатель $1.2$ в виде обыкновенной дроби: $1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.

$32^{1.2} = 32^{\frac{6}{5}}$

Теперь представим основание 32 как степень числа 2: $32 = 2^5$.

$32^{\frac{6}{5}} = (2^5)^{\frac{6}{5}}$

Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^5)^{\frac{6}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{6}{5}} = 2^6$

Вычисляем конечный результат:

$2^6 = 64$

Ответ: $64$.