Номер 6, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

6. Вычислите:

а) $3^{4\log_3 2}$;

б) $0,01^{\lg 7}$;

в) $25^{1 + \log_5 2}$;

г) $8^{1 - \log_2 3}$;

д) $(\sqrt[3]{5})^{\log_5 27}$;

е) $6^{\log_{36} 5}$;

ж) $11^{\log_{11} 3 - \log_{\sqrt{11}} 5}$;

з) $169^{1 + 0,5\log_{13} 2}$.

а) Для вычисления выражения $3^{4\log_3 2}$ воспользуемся свойством логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$.

Применим это свойство к показателю степени:

$4\log_3 2 = \log_3 2^4 = \log_3 16$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$3^{\log_3 16}$

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$3^{\log_3 16} = 16$

Ответ: 16

б) В выражении $0,01^{\lg 7}$ представим основание $0,01$ в виде степени числа 10. Вспомним, что $\lg 7$ - это десятичный логарифм, то есть $\log_{10} 7$.

$0,01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$

Подставим это в наше выражение:

$(10^{-2})^{\log_{10} 7}$

По свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$10^{-2 \cdot \log_{10} 7}$

Используем свойство $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$:

$10^{\log_{10} 7^{-2}}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:

$7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$

Ответ: $\frac{1}{49}$

в) Для вычисления $25^{1 + \log_5 2}$ используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$25^{1 + \log_5 2} = 25^1 \cdot 25^{\log_5 2}$

Представим $25$ как $5^2$:

$25 \cdot (5^2)^{\log_5 2}$

Применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, а затем $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$:

$25 \cdot 5^{2 \cdot \log_5 2} = 25 \cdot 5^{\log_5 2^2} = 25 \cdot 5^{\log_5 4}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:

$25 \cdot 4 = 100$

Ответ: 100

г) Для вычисления $8^{1 - \log_2 3}$ используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$8^{1 - \log_2 3} = \frac{8^1}{8^{\log_2 3}}$

Представим $8$ как $2^3$ в знаменателе:

$\frac{8}{(2^3)^{\log_2 3}}$

Применим свойства степеней и логарифмов:

$\frac{8}{2^{3 \cdot \log_2 3}} = \frac{8}{2^{\log_2 3^3}} = \frac{8}{2^{\log_2 27}}$

По основному логарифмическому тождеству:

$\frac{8}{27}$

Ответ: $\frac{8}{27}$

д) В выражении $(\sqrt[3]{5})^{\log_5 27}$ представим основание $\sqrt[3]{5}$ в виде степени с рациональным показателем:

$\sqrt[3]{5} = 5^{1/3}$

Подставим в исходное выражение:

$(5^{1/3})^{\log_5 27}$

Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, а затем $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$:

$5^{\frac{1}{3} \cdot \log_5 27} = 5^{\log_5 27^{1/3}}$

Так как $27^{1/3} = \sqrt[3]{27} = 3$, получаем:

$5^{\log_5 3}$

По основному логарифмическому тождеству:

$3$

Ответ: 3

е) В выражении $6^{\log_{36} 5}$ приведем основание логарифма к основанию степени. Заметим, что $36 = 6^2$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:

$\log_{36} 5 = \log_{6^2} 5 = \frac{1}{2} \log_6 5$

Подставим это в исходное выражение:

$6^{\frac{1}{2} \log_6 5}$

Используя свойство $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$:

$6^{\log_6 5^{1/2}} = 6^{\log_6 \sqrt{5}}$

По основному логарифмическому тождеству:

$\sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$

ж) В выражении $11^{\log_{11} 3 - \log_{\sqrt{11}} 5}$ воспользуемся свойством $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$\frac{11^{\log_{11} 3}}{11^{\log_{\sqrt{11}} 5}}$

Числитель по основному логарифмическому тождеству равен $3$.

Преобразуем знаменатель. Приведем основание логарифма $\sqrt{11} = 11^{1/2}$ к основанию 11, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:

$\log_{\sqrt{11}} 5 = \log_{11^{1/2}} 5 = \frac{1}{1/2} \log_{11} 5 = 2 \log_{11} 5$

Подставим это в знаменатель:

$11^{2 \log_{11} 5} = 11^{\log_{11} 5^2} = 11^{\log_{11} 25} = 25$

Теперь объединим числитель и знаменатель:

$\frac{3}{25}$

Ответ: $\frac{3}{25}$

з) Для вычисления $169^{1 + 0,5\log_{13} 2}$ используем свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$169^1 \cdot 169^{0,5\log_{13} 2}$

Представим $169$ как $13^2$ и $0,5$ как $\frac{1}{2}$:

$169 \cdot (13^2)^{\frac{1}{2}\log_{13} 2}$

Применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$169 \cdot 13^{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \log_{13} 2} = 169 \cdot 13^{\log_{13} 2}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:

$169 \cdot 2 = 338$

Ответ: 338