Номер 2, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Выберите верное равенство:

а) $5^{\frac{3}{4}} = \sqrt[3]{5^4}$;

б) $5^{\frac{3}{4}} = \sqrt[5]{4^3}$;

в) $5^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{5^3}$;

г) $5^{\frac{3}{4}} = \sqrt[3]{4^5}$.

Для того чтобы определить верное равенство, необходимо использовать правило преобразования степени с рациональным показателем в корень. Это правило выражается формулой: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a$ — основание степени, $m$ — числитель показателя (становится степенью подкоренного выражения), а $n$ — знаменатель показателя (становится показателем корня).

В нашем выражении $5^{\frac{3}{4}}$:

• основание $a = 5$;
• числитель показателя $m = 3$;
• знаменатель показателя $n = 4$.

Применяя формулу, получаем: $5^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{5^3}$.

Теперь сравним этот результат с предложенными вариантами:

а) $5^{\frac{3}{4}} = \sqrt[3]{5^4}$. Это неверно. Согласно формуле, выражение $\sqrt[3]{5^4}$ равно $5^{\frac{4}{3}}$.

б) $5^{\frac{3}{4}} = \sqrt[5]{4^3}$. Это неверно. В выражении справа перепутаны основание (4 вместо 5) и показатель корня (5 вместо 4). Оно соответствует $4^{\frac{3}{5}}$.

в) $5^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{5^3}$. Это верно. Данное равенство полностью соответствует правилу преобразования: знаменатель 4 стал показателем корня, а числитель 3 — степенью подкоренного выражения.

г) $5^{\frac{3}{4}} = \sqrt[3]{4^5}$. Это неверно. Здесь неверно все: и основание, и показатель корня, и степень. Выражение справа соответствует $4^{\frac{5}{3}}$.

Таким образом, правильным является только равенство в варианте в).

Ответ: в