Номер 3, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3. Вычислите:

a) $\log_2 8$;

б) $\log_5 \frac{1}{5}$;

В) $\log_3 1$;

Г) $\lg 0{,}01$.

а)

Чтобы вычислить $log_2 8$, необходимо найти такую степень $x$, в которую нужно возвести основание логарифма (число 2), чтобы получить число 8.

Запишем это в виде уравнения: $2^x = 8$.

Мы знаем, что 8 можно представить как степень числа 2: $8 = 2^3$.

Таким образом, наше уравнение принимает вид: $2^x = 2^3$.

Поскольку основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны: $x = 3$.

Следовательно, $log_2 8 = 3$.

Ответ: 3

б)

Чтобы вычислить $log_5 \frac{1}{5}$, нужно найти такую степень $x$, в которую нужно возвести основание 5, чтобы получить число $\frac{1}{5}$.

Запишем уравнение: $5^x = \frac{1}{5}$.

Используя свойство степеней с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), мы можем представить $\frac{1}{5}$ как $5^{-1}$.

Уравнение принимает вид: $5^x = 5^{-1}$.

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $x = -1$.

Следовательно, $log_5 \frac{1}{5} = -1$.

Ответ: -1

в)

Для вычисления $log_3 1$ нужно найти такую степень $x$, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить 1.

Уравнение: $3^x = 1$.

Согласно свойству степеней, любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице ($a^0 = 1$).

Значит, $3^0 = 1$.

Отсюда следует, что $x=0$.

Следовательно, $log_3 1 = 0$.

Ответ: 0

г)

Выражение $lg 0,01$ представляет собой десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Его можно записать как $log_{10} 0,01$.

Нужно найти такую степень $x$, в которую нужно возвести основание 10, чтобы получить 0,01.

Запишем уравнение: $10^x = 0,01$.

Представим десятичную дробь 0,01 в виде обыкновенной дроби: $0,01 = \frac{1}{100}$.

Знаменатель 100 можно представить как степень числа 10: $100 = 10^2$.

Тогда $\frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$.

Наше уравнение принимает вид: $10^x = 10^{-2}$.

Приравнивая показатели степеней, получаем: $x = -2$.

Следовательно, $lg 0,01 = -2$.

Ответ: -2