Номер 1.169, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.169. Даны точки $A(-5; 0)$ и $B(0; 3)$. Запишите уравнение окружности, для которой отрезок $AB$ является радиусом, а центром является точка:

а) $A$;

б) $B$.

Стандартное уравнение окружности с центром в точке с координатами $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ выглядит следующим образом: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Для решения задачи нам необходимо найти координаты центра и квадрат радиуса $R^2$ для каждого случая.

По условию, радиус $R$ равен длине отрезка $AB$. Найдем квадрат радиуса, который будет одинаковым для обоих случаев. Используем формулу для квадрата расстояния между точками $A(-5; 0)$ и $B(0; 3)$:
$R^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 = (0 - (-5))^2 + (3 - 0)^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$.

Теперь мы можем записать уравнение окружности для каждого из предложенных центров.

а) Центром окружности является точка $A(-5; 0)$. Таким образом, $x_0 = -5$ и $y_0 = 0$. Подставляем координаты центра и найденный квадрат радиуса $R^2 = 34$ в общее уравнение окружности:
$(x - (-5))^2 + (y - 0)^2 = 34$
Упрощая выражение, получаем:
$(x + 5)^2 + y^2 = 34$
Ответ: $(x + 5)^2 + y^2 = 34$

б) Центром окружности является точка $B(0; 3)$. Таким образом, $x_0 = 0$ и $y_0 = 3$. Подставляем координаты центра и квадрат радиуса $R^2 = 34$ в общее уравнение окружности:
$(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 34$
Упрощая выражение, получаем:
$x^2 + (y - 3)^2 = 34$
Ответ: $x^2 + (y - 3)^2 = 34$