Номер 1.166, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.166. На рисунке 8 изображен график одной из функций:

a) $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$;

б) $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$;

в) $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$;

г) $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

д) $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.

Выберите эту функцию.

Рис. 8

Чтобы выбрать правильную функцию, проанализируем ключевые особенности изображенного графика и сопоставим их со свойствами каждой из предложенных функций.

Из графика видно, что:

• Это график синусоидальной функции с амплитудой 1 и периодом $2\pi$.
• Максимум функции (вершина волны), ближайший к оси ординат, находится в области отрицательных значений $x$ (то есть, слева от оси $y$).
• В точке $x=0$ функция убывает (график идет вниз).

Стандартный график функции $y=\cos(x)$ имеет максимум в точке $x=0$. Сдвиг этого графика влево на величину $c > 0$ описывается функцией $y = \cos(x+c)$, а сдвиг вправо — функцией $y = \cos(x-c)$. Поскольку на рисунке максимум смещен влево, нам следует искать функцию вида $y = \cos(x+c)$.

Рассмотрим поочередно все варианты.

а) $y = \cos(x - \frac{\pi}{3})$

Это график функции $y=\cos(x)$, сдвинутый вправо на $\frac{\pi}{3}$. Максимум функции находится в точке $x = \frac{\pi}{3}$. Это противоречит графику, на котором максимум расположен слева от оси $y$.
Ответ: Неверно.

б) $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$

Это график функции $y=\cos(x)$, сдвинутый влево на $\frac{\pi}{6}$. Максимум находится в точке $x = -\frac{\pi}{6}$. Это соответствует положению максимума на графике (слева от оси $y$). Проверим поведение функции в точке $x=0$. Производная функции: $y' = -\sin(x + \frac{\pi}{6})$. При $x=0$ имеем $y'(0) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -0.5$. Так как производная отрицательна, функция убывает в этой точке, что полностью соответствует графику.
Ответ: Верно.

в) $y = \cos(x - \frac{\pi}{6})$

Это график функции $y=\cos(x)$, сдвинутый вправо на $\frac{\pi}{6}$. Максимум находится в точке $x = \frac{\pi}{6}$. Это противоречит графику.
Ответ: Неверно.

г) $y = \cos(x - \frac{\pi}{4})$

Это график функции $y=\cos(x)$, сдвинутый вправо на $\frac{\pi}{4}$. Максимум находится в точке $x = \frac{\pi}{4}$. Это противоречит графику.
Ответ: Неверно.

д) $y = \sin(x + \frac{\pi}{6})$

Это график функции $y=\sin(x)$, сдвинутый влево на $\frac{\pi}{6}$. Производная функции $y' = \cos(x + \frac{\pi}{6})$. В точке $x=0$ производная $y'(0) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$, значит, функция в этой точке возрастает. Это противоречит графику, где функция убывает в точке $x=0$.
Ответ: Неверно.

Таким образом, единственная функция, график которой соответствует изображению, это $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$.