Номер 4, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Найдите значение выражения:

а) $7^{\frac{1}{4}} \cdot 7^{\frac{3}{4}};$

б) $10^{1.2} : 10^{-0.8};$

в) $(3^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}};$

г) $5^{-\frac{1}{3}} : 25^{-\frac{2}{3}}.$

а) Чтобы найти значение выражения $7^{\frac{1}{4}} \cdot 7^{\frac{3}{4}}$, используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Складываем показатели степеней: $7^{\frac{1}{4}} \cdot 7^{\frac{3}{4}} = 7^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 7^{\frac{1+3}{4}} = 7^{\frac{4}{4}} = 7^1 = 7$.
Ответ: 7.

б) Чтобы найти значение выражения $10^{1,2} : 10^{-0,8}$, используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Вычитаем показатели степеней: $10^{1,2} : 10^{-0,8} = 10^{1,2 - (-0,8)} = 10^{1,2 + 0,8} = 10^2 = 100$.
Ответ: 100.

в) Чтобы найти значение выражения $(3^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$, используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Перемножаем показатели степеней: $(3^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = 3^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 3^{2} = 9$.
Ответ: 9.

г) Чтобы найти значение выражения $5^{-\frac{1}{3}} : 25^{-\frac{2}{3}}$, сначала приведем степени к одному основанию. Так как $25 = 5^2$, мы можем переписать второе число:
$25^{-\frac{2}{3}} = (5^2)^{-\frac{2}{3}}$.
Используя свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), получаем: $5^{2 \cdot (-\frac{2}{3})} = 5^{-\frac{4}{3}}$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $5^{-\frac{1}{3}} : 5^{-\frac{4}{3}}$.
Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^n = a^{m-n}$): $5^{-\frac{1}{3} - (-\frac{4}{3})} = 5^{-\frac{1}{3} + \frac{4}{3}} = 5^{\frac{-1+4}{3}} = 5^{\frac{3}{3}} = 5^1 = 5$.
Ответ: 5.