Номер 9, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

9. Упростите выражение $\left( \frac{x - x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} - 1} - 2\sqrt[3]{x} + 1 \right) \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} + 1}{x^{\frac{1}{3}} - 1}$

9.

Для упрощения данного выражения удобно ввести замену. Обозначим $y = x^{\frac{1}{3}}$.

Тогда можно выразить другие степени $x$ через $y$:

$x^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}})^2 = y^2$

$x = (x^{\frac{1}{3}})^3 = y^3$

$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} = y$

Теперь подставим новую переменную $y$ в исходное выражение:

$\left( \frac{x - x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} - 1} - 2\sqrt[3]{x} + 1 \right) \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} + 1}{x^{\frac{1}{3}} - 1} = \left( \frac{y^3 - y^2}{y - 1} - 2y + 1 \right) \cdot \frac{y + 1}{y - 1}$

Упростим выражение в скобках по действиям. Сначала преобразуем дробь:

$\frac{y^3 - y^2}{y - 1} = \frac{y^2(y - 1)}{y - 1}$

При условии, что $y - 1 \neq 0$ (т.е. $x \neq 1$), мы можем сократить дробь на $(y - 1)$:

$\frac{y^2(y - 1)}{y - 1} = y^2$

Теперь подставим результат обратно в скобки:

$y^2 - 2y + 1$

Полученное выражение является формулой квадрата разности:

$y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2$

Теперь все исходное выражение принимает вид:

$(y - 1)^2 \cdot \frac{y + 1}{y - 1}$

Сокращаем на $(y - 1)$:

$(y - 1) \cdot (y + 1)$

Это формула разности квадратов:

$(y - 1)(y + 1) = y^2 - 1$

На последнем шаге выполним обратную замену, подставив $y = x^{\frac{1}{3}}$:

$y^2 - 1 = (x^{\frac{1}{3}})^2 - 1 = x^{\frac{2}{3}} - 1$

Ответ: $x^{\frac{2}{3}} - 1$