Лабораторная работа №2, страница 275 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

Лабораторная работа № 2. Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Цель работы: измерение ускорения свободного падения с использованием формулы Гюйгенса для расчета периода колебаний математического маятника.

Приборы и принадлежности: математический маятник, штатив с зажимом, метровая линейка с миллиметровыми делениями, секундомер или часы с секундной стрелкой.

Расчетная формула

$g = 4\pi^2 \frac{ln^2}{t^2}$

Порядок выполнения работы

1. Поставьте штатив на край стола так, чтобы зажим штатива выступал за край стола (рис. 235), и зажмите в нем свободный конец нити длиной не менее 1 м. Измерьте длину маятника 3—5 раз. Вычислите среднее значение $\langle l \rangle$. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу.

2. Отведите шарик в сторону на 5 $\div$ 10 см и отпустите его.

3. Измерьте 3—5 раз время 10 колебаний маятника и вычислите среднее значение $\langle t \rangle$. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу.

4. Вычислите среднюю абсолютную погрешность измерения времени $\langle \Delta t \rangle$. Результаты вычислений занесите в таблицу.

5. Вычислите среднее значение ускорения свободного падения. Результаты вычислений занесите в таблицу.

6. Определите относительную погрешность измерения ускорения свободного падения и запишите результат измерения в таблицу.

Таблица измерений и вычислений

Контрольные вопросы

1. Одинаково ли ускорение свободного падения на полюсе Земли и на ее экваторе? Ответ обоснуйте.

2. Можно ли измерить ускорение свободного падения с помощью математического маятника в условиях невесомости? Ответ обоснуйте.

Выводы

Суперзадание

Математический маятник отклонили на небольшой угол и отпустили без толчка. Через промежуток времени $t_1$ он окажется в положении равновесия. Во втором случае его подняли до точки подвеса и отпустили (без толчка). Через промежуток времени $t_2$ он также окажется в положении равновесия. Сравните промежутки времени $t_1$ и $t_2$ движения шарика. Ответ обоснуйте.

Для выполнения лабораторной работы были проведены гипотетические измерения. Была измерена длина математического маятника l и время t для n=40 полных колебаний. Эксперимент был повторен трижды для повышения точности. На основе этих данных было вычислено ускорение свободного падения g по формуле $g = \frac{4\pi^2ln^2}{t^2}$, а также абсолютная и относительная погрешности измерений.

Таблица измерений и вычислений

Расчеты:

1. Средние значения длины и времени:
$\langle l \rangle = \frac{1.02\text{ м} + 1.00\text{ м} + 0.97\text{ м}}{3} \approx 1.00 \text{ м}$
$\langle t \rangle = \frac{81.5\text{ с} + 80.1\text{ с} + 79.0\text{ с}}{3} \approx 80.2 \text{ с}$

2. Значения g для каждого опыта:
$g_1 = \frac{4\pi^2 \cdot 1.02 \cdot 40^2}{(81.5)^2} \approx 9.70 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$
$g_2 = \frac{4\pi^2 \cdot 1.00 \cdot 40^2}{(80.1)^2} \approx 9.84 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$
$g_3 = \frac{4\pi^2 \cdot 0.97 \cdot 40^2}{(79.0)^2} \approx 9.82 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

3. Среднее значение g:
$\langle g \rangle = \frac{9.70 + 9.84 + 9.82}{3} \approx 9.79 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

4. Средняя абсолютная погрешность измерения времени:
$\Delta t_1 = |81.5 - 80.2| = 1.3$ с
$\Delta t_2 = |80.1 - 80.2| = 0.1$ с
$\Delta t_3 = |79.0 - 80.2| = 1.2$ с
$\langle \Delta t \rangle = \frac{1.3 + 0.1 + 1.2}{3} \approx 0.87 \text{ с}$

5. Относительная погрешность измерения g:
Сначала найдем среднюю абсолютную погрешность для g:
$\Delta g_1 = |9.70 - 9.79| = 0.09$
$\Delta g_2 = |9.84 - 9.79| = 0.05$
$\Delta g_3 = |9.82 - 9.79| = 0.03$
$\langle \Delta g \rangle = \frac{0.09 + 0.05 + 0.03}{3} \approx 0.057 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$
$\varepsilon = \frac{\langle \Delta g \rangle}{\langle g \rangle} \cdot 100\% = \frac{0.057}{9.79} \cdot 100\% \approx 0.58\%$

Контрольные вопросы

1. Одинаково ли ускорение свободного падения на полюсе Земли и на ее экваторе? Ответ обоснуйте.

Нет, ускорение свободного падения на полюсе и на экваторе различно. На полюсе оно больше, чем на экваторе. Это обусловлено двумя основными причинами:
1. Форма Земли. Наша планета не является идеальной сферой, она слегка сплюснута у полюсов и вытянута у экватора (геоид). Из-за этого расстояние от центра Земли до ее поверхности на полюсах меньше, чем на экваторе. Согласно закону всемирного тяготения, сила гравитационного притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния, поэтому на полюсах гравитационное притяжение сильнее.
2. Вращение Земли. Из-за суточного вращения Земли на все тела на ее поверхности (кроме полюсов) действует центробежная сила инерции, направленная от оси вращения. Эта сила максимальна на экваторе и равна нулю на полюсах. Центробежная сила направлена против силы тяжести и уменьшает вес тел, а следовательно, и ускорение свободного падения.
Оба этих фактора приводят к тому, что ускорение свободного падения на полюсах (около $9.832 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$) больше, чем на экваторе (около $9.780 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$).

Ответ: Ускорение свободного падения не одинаково; на полюсе оно больше, чем на экваторе, из-за сплюснутой формы Земли и ее вращения.

2. Можно ли измерить ускорение свободного падения с помощью математического маятника в условиях невесомости? Ответ обоснуйте.

Нет, измерить ускорение свободного падения с помощью математического маятника в условиях невесомости (например, на борту международной космической станции) невозможно. Колебания математического маятника происходят под действием возвращающей силы, которая является составляющей силы тяжести. Период колебаний маятника определяется формулой $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$. В условиях невесомости действующая на маятник сила тяжести равна нулю, то есть $g=0$. При $g=0$ возвращающая сила отсутствует, и маятник не будет совершать колебания. Если подставить $g=0$ в формулу, то период колебаний $T$ становится бесконечно большим, что означает отсутствие колебаний. Таким образом, эксперимент по измерению $g$ провести нельзя.

Ответ: Нет, так как в невесомости отсутствует сила тяжести, которая является причиной колебаний маятника.

Выводы

В ходе выполнения лабораторной работы было экспериментально определено ускорение свободного падения g с помощью математического маятника. В результате проведенных измерений и вычислений было получено среднее значение $\langle g \rangle \approx 9.79 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$. Абсолютная погрешность составила $\langle \Delta g \rangle \approx 0.06 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$, а относительная погрешность $\varepsilon \approx 0.58\%$. Полученное значение близко к общепринятому значению $g \approx 9.81 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$. Небольшое расхождение может быть объяснено погрешностями измерений (длины нити и времени колебаний), сопротивлением воздуха и тем, что используемый маятник не является идеальной математической моделью.

Ответ: Экспериментально определено значение ускорения свободного падения $g = (9.79 \pm 0.06) \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ с относительной погрешностью $0.58\%$.

Суперзадание

Математический маятник отклонили на небольшой угол и отпустили без толчка. Через промежуток времени $t_1$ он окажется в положении равновесия. Во втором случае его подняли до точки подвеса и отпустили (без толчка). Через промежуток времени $t_2$ он также окажется в положении равновесия. Сравните промежутки времени $t_1$ и $t_2$ движения шарика. Ответ обоснуйте.

Дано:
Маятник длиной l.
$t_1$ — время движения из крайнего положения в положение равновесия при колебаниях.
$t_2$ — время свободного падения с высоты l до положения равновесия.

Найти:
Сравнить $t_1$ и $t_2$.

Решение:
1. Найдем время $t_1$. Движение маятника из крайнего положения до положения равновесия — это одна четверть полного периода колебаний. Период колебаний математического маятника для малых амплитуд определяется формулой Гюйгенса:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$
Следовательно, время $t_1$ равно:
$t_1 = \frac{T}{4} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}{4} = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{l}{g}}$

2. Найдем время $t_2$. Во втором случае шарик отпускают от точки подвеса, и он совершает свободное падение с высоты, равной длине маятника l. Начальная скорость равна нулю. Движение является равноускоренным с ускорением g. Воспользуемся формулой для пути при равноускоренном движении:
$h = v_0t + \frac{at^2}{2}$
В нашем случае $h=l$, $v_0=0$, $a=g$, $t=t_2$:
$l = \frac{gt_2^2}{2}$
Выразим отсюда $t_2$:
$t_2^2 = \frac{2l}{g}$
$t_2 = \sqrt{\frac{2l}{g}}$

3. Сравним $t_1$ и $t_2$.
$t_1 = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{l}{g}}$
$t_2 = \sqrt{2}\sqrt{\frac{l}{g}}$
Для сравнения времен достаточно сравнить коэффициенты $\frac{\pi}{2}$ и $\sqrt{2}$.
$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.5708$
$\sqrt{2} \approx 1.4142$
Так как $1.5708 > 1.4142$, то $\frac{\pi}{2} > \sqrt{2}$.
Следовательно, $t_1 > t_2$.

Ответ: Промежуток времени в первом случае больше, чем во втором: $t_1 > t_2$.