Номер 5, страница 81 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

5. Определите длину волны $\lambda_1$, на которую настроен радиоприемник, если напряжение в приемном контуре меняется по закону: $U(t) = 200\cos(2 \cdot 10^4 \pi t)$(В). Определите также длину волны $\lambda_2$, излучаемую передатчиком, если сила тока в его колебательном контуре изменяется по закону $I = 0,400\cos(6\pi \cdot 10^6 t)$(А).

Дано:

Закон изменения напряжения в приемном контуре: $U(t) = 200\cos(2 \cdot 10^4 \pi t)$ (В)

Закон изменения силы тока в колебательном контуре передатчика: $I = 0,400\cos(6\pi \cdot 10^6 t)$ (А)

Скорость света в вакууме (и в воздухе): $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\lambda_1$ - ?

$\lambda_2$ - ?

Решение:

Длина электромагнитной волны $\lambda$ связана с ее периодом $T$ и частотой $\nu$ соотношениями $\lambda = cT$ и $\lambda = \frac{c}{\nu}$. В свою очередь, циклическая (угловая) частота $\omega$ связана с периодом и частотой как $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$. Из этих соотношений можно вывести формулу для расчета длины волны через циклическую частоту: $\lambda = \frac{2\pi c}{\omega}$.

Циклическую частоту $\omega$ можно определить из уравнения гармонических колебаний, которое в общем виде для напряжения и силы тока выглядит так: $U(t) = U_{max}\cos(\omega t + \phi_0)$ и $I(t) = I_{max}\cos(\omega t + \phi_0)$.

Определение длины волны $\lambda_1$, на которую настроен радиоприемник

Уравнение изменения напряжения в приемном контуре дано в виде $U(t) = 200\cos(2 \cdot 10^4 \pi t)$.

Сравнивая это уравнение с общей формой, находим циклическую частоту колебаний в контуре приемника:

$\omega_1 = 2 \cdot 10^4 \pi$ рад/с.

Теперь рассчитаем длину волны, на которую настроен приемник:

$\lambda_1 = \frac{2\pi c}{\omega_1} = \frac{2\pi \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2 \cdot 10^4 \pi \text{ рад/с}} = \frac{3 \cdot 10^8}{10^4} \text{ м} = 3 \cdot 10^4 \text{ м}$.

Ответ: $\lambda_1 = 30000$ м (или 30 км).

Определение длины волны $\lambda_2$, излучаемую передатчиком

Уравнение изменения силы тока в колебательном контуре передатчика дано в виде $I = 0,400\cos(6\pi \cdot 10^6 t)$.

Сравнивая это уравнение с общей формой, находим циклическую частоту колебаний в контуре передатчика:

$\omega_2 = 6\pi \cdot 10^6$ рад/с.

Теперь рассчитаем длину волны, излучаемую передатчиком:

$\lambda_2 = \frac{2\pi c}{\omega_2} = \frac{2\pi \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{6\pi \cdot 10^6 \text{ рад/с}} = \frac{6\pi \cdot 10^8}{6\pi \cdot 10^6} \text{ м} = 10^2 \text{ м}$.

Ответ: $\lambda_2 = 100$ м.