Номер 8, страница 81 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

8. Определите расстояние $d_2$ между обкладками плоского воздушного конденсатора, чтобы колебательный контур приемника был настроен на длину волны $\lambda_2 = 120$ м, если при расстоянии между ними $d_1 = 3,6$ мм приемник настроен на длину волны $\lambda_1 = 150$ м.

Дано:

Найти:

$d_2$

Решение:

Длина волны $\lambda$, на которую настроен колебательный контур приемника, определяется по формуле Томсона. Связь длины волны с параметрами контура (индуктивностью $L$ и емкостью $C$) выражается формулой: $\lambda = 2\pi c \sqrt{LC}$ где $c$ — скорость света.

Емкость плоского воздушного конденсатора зависит от расстояния $d$ между его обкладками по формуле: $C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ где $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, а $S$ — площадь обкладок конденсатора.

Подставим выражение для емкости в формулу для длины волны: $\lambda = 2\pi c \sqrt{L \frac{\varepsilon_0 S}{d}}$

В данной задаче индуктивность катушки $L$ и параметры конденсатора (площадь обкладок $S$) не изменяются. Все величины, кроме $\lambda$ и $d$, являются постоянными. Из формулы видно, что длина волны $\lambda$ обратно пропорциональна квадратному корню из расстояния $d$ между обкладками: $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{d}}$

Это означает, что произведение $\lambda \sqrt{d}$ является постоянной величиной для данного контура. Поэтому для двух различных настроек мы можем записать равенство: $\lambda_1 \sqrt{d_1} = \lambda_2 \sqrt{d_2}$

Чтобы найти $d_2$, возведем обе части равенства в квадрат: $\lambda_1^2 d_1 = \lambda_2^2 d_2$

Выразим из этого уравнения искомое расстояние $d_2$: $d_2 = d_1 \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^2$

Подставим известные значения. Так как мы ищем расстояние $d_2$, а $d_1$ дано в миллиметрах, результат также получим в миллиметрах, и переводить в СИ для расчета не обязательно. $d_2 = 3,6 \text{ мм} \cdot \left(\frac{150 \text{ м}}{120 \text{ м}}\right)^2 = 3,6 \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^2 = 3,6 \cdot \frac{25}{16}$

$d_2 = \frac{3,6 \cdot 25}{16} = \frac{90}{16} = \frac{45}{8} = 5,625 \text{ мм}$

Ответ: расстояние между обкладками конденсатора должно быть $5,625$ мм.