Номер 7, страница 81 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

7. Емкость переменного конденсатора колебательного контура изменяется от величины $C$ до $64C$. Если емкость конденсатора равна $8 C$, то контур настроен на длину волны $\lambda = 36$ м. Определите диапазон $\Delta\lambda$ длин волн, принимаемых радиоприемником с данным контуром.

Дано:

$C_{min} = C$

$C_{max} = 64C$

При $C' = 8C$, $\lambda' = 36$ м

Найти:

Диапазон длин волн $[\lambda_{min}, \lambda_{max}]$

Решение:

Длина электромагнитной волны, на которую настроен колебательный контур, определяется по формуле Томсона для периода колебаний и связи длины волны с периодом.

Период свободных электромагнитных колебаний в контуре равен:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

где $L$ – индуктивность катушки, а $C$ – емкость конденсатора.

Длина волны связана с периодом соотношением:

$\lambda = cT$

где $c$ – скорость света в вакууме.

Объединяя эти две формулы, получаем зависимость длины волны от параметров контура:

$\lambda = 2\pi c\sqrt{LC}$

В данной задаче индуктивность катушки $L$ остается постоянной. Величины $2$, $\pi$ и $c$ также являются константами. Следовательно, длина волны прямо пропорциональна квадратному корню из емкости конденсатора:

$\lambda \sim \sqrt{C}$

Это позволяет нам использовать пропорции для нахождения границ диапазона длин волн, $\lambda_{min}$ и $\lambda_{max}$, зная опорное значение $\lambda'$ при $C' = 8C$.

1. Найдем минимальную длину волны $\lambda_{min}$, которая соответствует минимальной емкости $C_{min} = C$:

$\frac{\lambda_{min}}{\lambda'} = \sqrt{\frac{C_{min}}{C'}} = \sqrt{\frac{C}{8C}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

Отсюда выражаем $\lambda_{min}$:

$\lambda_{min} = \lambda' \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = 36 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{18}{\sqrt{2}} = \frac{18\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}$ м.

2. Найдем максимальную длину волны $\lambda_{max}$, которая соответствует максимальной емкости $C_{max} = 64C$:

$\frac{\lambda_{max}}{\lambda'} = \sqrt{\frac{C_{max}}{C'}} = \sqrt{\frac{64C}{8C}} = \sqrt{\frac{64}{8}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Отсюда выражаем $\lambda_{max}$:

$\lambda_{max} = \lambda' \cdot 2\sqrt{2} = 36 \cdot 2\sqrt{2} = 72\sqrt{2}$ м.

Таким образом, диапазон длин волн, принимаемых радиоприемником, простирается от $9\sqrt{2}$ м до $72\sqrt{2}$ м.

Приблизительные значения: $\sqrt{2} \approx 1.414$, тогда:

$\lambda_{min} \approx 9 \cdot 1.414 = 12.726$ м.

$\lambda_{max} \approx 72 \cdot 1.414 = 101.808$ м.

Ответ: диапазон принимаемых длин волн составляет от $9\sqrt{2}$ м до $72\sqrt{2}$ м, или, в приближенном виде, от 12.7 м до 101.8 м.