Номер 6, страница 81 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

6. Определите длину волны $\lambda$, на которую настроен радиоприемник, если его колебательный контур содержит конденсатор емкостью $C = 4,0$ нФ и катушку индуктивностью $L = 4,0$ мГн.

Дано:

Емкость конденсатора $C = 4,0 \text{ нФ}$

Индуктивность катушки $L = 4,0 \text{ мГн}$

Скорость света в вакууме $c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:
$C = 4,0 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}$
$L = 4,0 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

Найти:

Длину волны $\lambda$

Решение:

Радиоприемник настраивается на определенную длину волны путем подбора параметров его колебательного контура. Резонанс наступает, когда собственная частота колебаний в контуре совпадает с частотой принимаемой электромагнитной волны. Длина волны $\lambda$ связана с периодом колебаний $T$ в контуре и скоростью распространения электромагнитных волн в вакууме $c$ следующим соотношением:

$\lambda = c \cdot T$

Период свободных электромагнитных колебаний в LC-контуре (колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора) определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Для нахождения длины волны, на которую настроен приемник, объединим эти две формулы:

$\lambda = c \cdot 2\pi\sqrt{LC}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ и произведем вычисления:

$\lambda = 2\pi \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot \sqrt{(4,0 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}) \cdot (4,0 \cdot 10^{-9} \text{ Ф})}$

Сначала вычислим произведение под корнем:

$LC = (4,0 \cdot 10^{-3}) \cdot (4,0 \cdot 10^{-9}) = 16 \cdot 10^{-12} \text{ Гн} \cdot \text{Ф}$

Единица измерения произведения $LC$ - это секунда в квадрате ($1 \text{ Гн} \cdot 1 \text{ Ф} = 1 \text{ с}^2$), поэтому корень из этой величины будет измеряться в секундах.

$\sqrt{16 \cdot 10^{-12} \text{ Гн} \cdot \text{Ф}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{10^{-12}} \text{ с} = 4 \cdot 10^{-6} \text{ с}$

Подставим полученное значение обратно в формулу для длины волны:

$\lambda = 2\pi \cdot 3 \cdot 10^8 \cdot 4 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

$\lambda = 24\pi \cdot 10^{(8-6)} \text{ м} = 24\pi \cdot 10^2 \text{ м} = 2400\pi \text{ м}$

Вычислим окончательное значение, используя значение $\pi \approx 3,14159$:

$\lambda \approx 2400 \cdot 3,14159 \approx 7539,8 \text{ м}$

Округлим результат до трех значащих цифр:

$\lambda \approx 7540 \text{ м}$

Ответ: длина волны, на которую настроен радиоприемник, составляет приблизительно $7540 \text{ м}$.