Номер 4, страница 65 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

4. Запишите закон изменения заряда на обкладках конденсатора от времени, исходя из графика на рисунке 64. Определите заряд в момент времени: а) $t_1 = 1,50$ мс; б) $t_2 = 3,80$ мс. Определите амплитудное $I_0$ значение силы тока.

Рис. 64. График зависимости заряда $q$ от времени $t$ в колебательном контуре

Дано:

Амплитудное значение заряда (из графика): $q_m = 20,0 \text{ мкКл}$
Период колебаний (из графика): $T = 4,00 \text{ мс}$
Момент времени 1: $t_1 = 1,50 \text{ мс}$
Момент времени 2: $t_2 = 3,80 \text{ мс}$

Перевод в систему СИ:
$q_m = 20,0 \times 10^{-6} \text{ Кл}$
$T = 4,00 \times 10^{-3} \text{ с}$
$t_1 = 1,50 \times 10^{-3} \text{ с}$
$t_2 = 3,80 \times 10^{-3} \text{ с}$

Найти:

Закон изменения заряда $q(t) - ?$
Амплитудное значение силы тока $I_0 - ?$
Заряд $q(t_1) - ?$
Заряд $q(t_2) - ?$

Решение:

Закон изменения заряда в колебательном контуре имеет общий вид $q(t) = q_m \cos(\omega t + \phi_0)$. Из графика видно, что в начальный момент времени $t=0$ заряд на обкладках конденсатора максимален ($q = q_m = 20,0 \text{ мкКл}$). Это соответствует колебаниям, описываемым функцией косинуса с начальной фазой $\phi_0 = 0$. Следовательно, уравнение принимает вид: $q(t) = q_m \cos(\omega t)$.

Из графика определяем амплитуду заряда $q_m = 20,0 \text{ мкКл}$ и период колебаний $T = 4,00 \text{ мс}$. Циклическая частота $\omega$ связана с периодом соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Вычислим ее в СИ: $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4,00 \times 10^{-3} \text{ с}} = 500\pi \text{ рад/с}$.

Подставив значения $q_m$ и $\omega$ в уравнение, получим закон изменения заряда в единицах СИ: $q(t) = 20,0 \times 10^{-6} \cos(500\pi t)$.

Сила тока $i(t)$ является первой производной от заряда $q(t)$ по времени: $i(t) = q'(t)$. $i(t) = \frac{d}{dt}(q_m \cos(\omega t)) = -q_m \omega \sin(\omega t)$. Амплитудное значение силы тока $I_0$ равно максимальному значению модуля силы тока: $I_0 = q_m \omega$. Подставим значения в системе СИ: $I_0 = (20,0 \times 10^{-6} \text{ Кл}) \times (500\pi \text{ рад/с}) = 0,01\pi \text{ А} \approx 0,0314 \text{ А} = 31,4 \text{ мА}$.
Ответ: Закон изменения заряда: $q(t) = 20,0 \times 10^{-6} \cos(500\pi t)$ (в СИ). Амплитудное значение силы тока: $I_0 \approx 31,4 \text{ мА}$.

Для определения заряда в заданные моменты времени удобнее использовать уравнение, где время выражено в миллисекундах (мс), а заряд — в микрокулонах (мкКл). В этом случае циклическая частота $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4,00 \text{ мс}} = \frac{\pi}{2} \text{ рад/мс}$. Уравнение имеет вид: $q(t) = 20,0 \cos(\frac{\pi}{2}t)$.

а) Определим заряд в момент времени $t_1 = 1,50 \text{ мс}$. $q(1,50) = 20,0 \cos(\frac{\pi}{2} \cdot 1,50) = 20,0 \cos(\frac{3\pi}{4})$. Зная, что $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $q(1,50) = 20,0 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -10\sqrt{2} \approx -14,1 \text{ мкКл}$.
Ответ: $q(t_1) \approx -14,1 \text{ мкКл}$.

б) Определим заряд в момент времени $t_2 = 3,80 \text{ мс}$. $q(3,80) = 20,0 \cos(\frac{\pi}{2} \cdot 3,80) = 20,0 \cos(1,9\pi)$. Используя свойство четности функции косинуса и ее периодичность, $\cos(1,9\pi) = \cos(2\pi - 1,9\pi) = \cos(0,1\pi)$. $\cos(0,1\pi) = \cos(18^{\circ}) \approx 0,951$. $q(3,80) \approx 20,0 \cdot 0,951 = 19,02 \text{ мкКл}$.
Ответ: $q(t_2) \approx 19,0 \text{ мкКл}$.