Номер 7, страница 65 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

7. Напряжение на участке электрической цепи, по которому проходит переменный ток, изменяется со временем по закону $U(t) = U_0 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$ (В). Определите амплитудное значение напряжения $U_0$, если в момент времени $t = \frac{T}{6}$ мгновенное значение напряжения $U = 6,0$ В.

Дано:
Закон изменения напряжения: $U(t) = U_0 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$
Момент времени $t = \frac{T}{6}$
Мгновенное значение напряжения $U = 6,0$ В

Найти:
Амплитудное значение напряжения $U_0$.

Решение:
Запишем закон изменения напряжения в цепи: $U(t) = U_0 \sin(\omega t + \phi_0)$ где $U_0$ — амплитудное значение напряжения, $\omega$ — циклическая частота, $t$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза.
Из условия задачи имеем: $U(t) = U_0 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$
Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ соотношением: $\omega = \frac{2\pi}{T}$
Подставим в исходное уравнение момент времени $t = \frac{T}{6}$ и известное значение мгновенного напряжения $U = 6,0$ В: $6,0 = U_0 \sin(\omega \cdot \frac{T}{6} + \frac{\pi}{4})$
Теперь подставим выражение для циклической частоты $\omega$: $6,0 = U_0 \sin(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{6} + \frac{\pi}{4})$
Упростим выражение в аргументе синуса: $\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$
Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$
Таким образом, уравнение принимает вид: $6,0 = U_0 \sin(\frac{7\pi}{12})$
Выразим амплитудное значение напряжения $U_0$: $U_0 = \frac{6,0}{\sin(\frac{7\pi}{12})}$
Для вычисления значения $\sin(\frac{7\pi}{12})$ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$. $\sin(\frac{7\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{4})$
Подставим табличные значения тригонометрических функций: $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(\frac{7\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
Теперь подставим это выражение в формулу для $U_0$: $U_0 = \frac{6,0}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{6,0 \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{24}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$
Вычислим численное значение, используя приближенные значения корней $\sqrt{6} \approx 2,45$ и $\sqrt{2} \approx 1,41$: $U_0 \approx \frac{24}{2,45 + 1,41} = \frac{24}{3,86} \approx 6,2176$ В
Округляя результат до двух значащих цифр, как в данных задачи, получаем: $U_0 \approx 6,2$ В.

Ответ: амплитудное значение напряжения $U_0 \approx 6,2$ В.