Номер 82, страница 167 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

82. Даны множества: $A = \{2, 3, 8\}$, $B = \{2, 3, 8, 11\}$,

$C = \{5, 11\}$. Найдите:

а) $A \cap B$, $A \cup B$;

б) $A \cap C$, $A \cup C$;

в) $C \cap B$, $C \cup B$;

г) $A \cap (B \cap C)$.

а) $A \cap B, A \cup B$;
Для нахождения пересечения множеств $A \cap B$ необходимо найти все элементы, которые одновременно принадлежат и множеству $A = \{2, 3, 8\}$, и множеству $B = \{2, 3, 8, 11\}$. Сравнив элементы, мы видим, что общими являются $\{2, 3, 8\}$.
Для нахождения объединения множеств $A \cup B$ необходимо собрать все уникальные элементы из обоих множеств. Множество $A$ содержит $\{2, 3, 8\}$, а множество $B$ содержит $\{2, 3, 8, 11\}$. Объединив их, получаем множество $\{2, 3, 8, 11\}$.
Ответ: $A \cap B = \{2, 3, 8\}$; $A \cup B = \{2, 3, 8, 11\}$.

б) $A \cap C, A \cup C$;
Находим пересечение $A \cap C$. Множество $A = \{2, 3, 8\}$, а множество $C = \{5, 11\}$. Эти множества не имеют общих элементов, поэтому их пересечение — это пустое множество, которое обозначается символом $\emptyset$.
Находим объединение $A \cup C$. Для этого нужно включить в новое множество все элементы из $A$ и все элементы из $C$. Получаем множество $\{2, 3, 8, 5, 11\}$. Для удобства элементы можно упорядочить: $\{2, 3, 5, 8, 11\}$.
Ответ: $A \cap C = \emptyset$; $A \cup C = \{2, 3, 5, 8, 11\}$.

в) $C \cap B, C \cup B$;
Находим пересечение $C \cap B$. Сравниваем элементы множеств $C = \{5, 11\}$ и $B = \{2, 3, 8, 11\}$. Единственный общий элемент — это 11. Таким образом, $C \cap B = \{11\}$.
Находим объединение $C \cup B$. Собираем все уникальные элементы из $C$ и $B$. Это будут элементы $\{5, 11\}$ из $C$ и $\{2, 3, 8, 11\}$ из $B$. Объединив их и удалив дубликаты, получаем $\{2, 3, 5, 8, 11\}$.
Ответ: $C \cap B = \{11\}$; $C \cup B = \{2, 3, 5, 8, 11\}$.

г) $A \cap (B \cap C).$
Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняется операция в скобках — находится пересечение $B \cap C$.
1. Находим $B \cap C$. Множество $B = \{2, 3, 8, 11\}$, множество $C = \{5, 11\}$. Их общий элемент — 11. Следовательно, $B \cap C = \{11\}$.
2. Теперь выполняем вторую операцию: находим пересечение множества $A$ с результатом, полученным на первом шаге. То есть, $A \cap \{11\}$.
Множество $A = \{2, 3, 8\}$. Сравнивая его с множеством $\{11\}$, мы видим, что у них нет общих элементов.
Значит, итоговый результат — это пустое множество.
Ответ: $A \cap (B \cap C) = \emptyset$.