Номер 88, страница 171 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

88. Среди 10 напитков 5 содержали апельсиновый сок, а 8 — яблочный. Объясните ситуацию с помощью кругов Эйлера. Решите задачи, используя модель с помощью кругов Эйлера.

Для объяснения данной ситуации и решения задач воспользуемся моделью с кругами Эйлера. Пусть один круг представляет множество напитков с апельсиновым соком (обозначим его как $А$), а второй круг — множество напитков с яблочным соком (обозначим его как $Я$).

По условию задачи нам известно:

• Общее количество напитков: 10.
• Количество напитков с апельсиновым соком: $|А| = 5$.
• Количество напитков с яблочным соком: $|Я| = 8$.

Сумма напитков с апельсиновым и яблочным соком равна $5 + 8 = 13$, что больше общего количества напитков. Это говорит о том, что существуют напитки, содержащие одновременно и апельсиновый, и яблочный сок. На диаграмме Эйлера это будет область пересечения двух кругов ($А \cap Я$).

Общее количество уникальных напитков (содержащих хотя бы один из соков) равно 10, что является объединением множеств: $|А \cup Я| = 10$.

Используя эти данные, решим следующие задачи.

а) Сколько напитков содержали и апельсиновый, и яблочный сок?
Количество напитков, содержащих оба вида сока, соответствует мощности пересечения множеств $А$ и $Я$. Для ее нахождения воспользуемся формулой включений-исключений:
$|А \cap Я| = |А| + |Я| - |А \cup Я|$
Подставляем известные значения:
$|А \cap Я| = 5 + 8 - 10 = 3$
Ответ: 3

б) Сколько напитков содержали только апельсиновый сок?
Чтобы найти это количество, нужно из общего числа напитков с апельсиновым соком вычесть те, что содержат также и яблочный сок (то есть, пересечение).
Количество = $|А| - |А \cap Я| = 5 - 3 = 2$
Ответ: 2

в) Сколько напитков содержали только яблочный сок?
Аналогично, из общего числа напитков с яблочным соком вычитаем количество напитков, содержащих оба вида сока.
Количество = $|Я| - |А \cap Я| = 8 - 3 = 5$
Ответ: 5

Таким образом, с помощью кругов Эйлера мы установили, что из 10 напитков: 2 содержат только апельсиновый сок, 5 — только яблочный, а 3 — оба вида сока. Проверка: $2 + 5 + 3 = 10$.