Номер 92, страница 171 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

92. Множество A состоит из 26 элементов (рис. 13), только во множество B входит 5 элементов, только во множество C — 4 элемента, а множество $B \cap C$ состоит из 13 элементов. Используя модель условия задачи с помощью кругов Эйлера, найдите:

а) сколько элементов принадлежит множеству B;

б) сколько элементов принадлежит множеству C;

в) сколько элементов принадлежит множеству $B \cup C$;

г) сколько элементов множества A не принадлежит $B \cup C$?

$A - 26$

$B - ?$

$C - ?$

5

13

4

?

Рисунок 13

Для решения задачи воспользуемся диаграммой Эйлера, представленной в условии. Обозначим количество элементов в множестве X как $|X|$.

Из условия и диаграммы нам известно:

• Общее количество элементов в множестве A: $|A| = 26$.
• Количество элементов, принадлежащих только множеству B (но не C): $|B \setminus C| = 5$.
• Количество элементов, принадлежащих только множеству C (но не B): $|C \setminus B| = 4$.
• Количество элементов, принадлежащих пересечению множеств B и C: $|B \cap C| = 13$.

Множество B состоит из элементов, которые принадлежат только B, и элементов, которые принадлежат пересечению B и C. Чтобы найти общее количество элементов в множестве B, нужно сложить количество элементов в этих двух частях.
$|B| = |B \setminus C| + |B \cap C| = 5 + 13 = 18$
Ответ: 18

Аналогично, множество C состоит из элементов, которые принадлежат только C, и элементов из пересечения B и C. Чтобы найти общее количество элементов в множестве C, нужно сложить количество элементов в этих двух частях.
$|C| = |C \setminus B| + |B \cap C| = 4 + 13 = 17$
Ответ: 17

Объединение множеств B и C ($B \cup C$) включает все элементы, которые принадлежат B, или C, или им обоим. Количество элементов в объединении можно найти, сложив количество элементов в трех непересекающихся областях: элементы только в B, элементы только в C и элементы в их пересечении.
$|B \cup C| = |B \setminus C| + |C \setminus B| + |B \cap C| = 5 + 4 + 13 = 22$
Также можно использовать формулу включений-исключений:
$|B \cup C| = |B| + |C| - |B \cap C| = 18 + 17 - 13 = 22$
Ответ: 22

Чтобы найти количество элементов множества A, которые не принадлежат объединению B и C, нужно из общего количества элементов в A вычесть количество элементов в $B \cup C$ (которое мы нашли в пункте в).
$|A \setminus (B \cup C)| = |A| - |B \cup C| = 26 - 22 = 4$
Ответ: 4