Номер 99, страница 172 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

99. Множество A состоит из 20 элементов (рис. 14), множество B — из 17 элементов, множество C — из 15 элементов. Известно также, что $A \cap B = 9$, $A \cap C = 8$, $B \cap C = 7$, а $(A \cap B) \cap C = 3$. Используя модель условия задачи с помощью кругов Эйлера, найдите:

Рисунок 14

а) сколько элементов принадлежит только множеству $A \cap B$, но не принадлежит множеству $C$;

б) сколько элементов принадлежит множеству $A$, но не принадлежит множеству $B$;

в) сколько элементов принадлежит множеству $B$, но не принадлежит множеству $A$;

г) сколько элементов принадлежит только множеству $A$;

д) сколько элементов принадлежит только множеству $B$;

е) сколько элементов принадлежит только множеству $C$;

ж) сколько элементов принадлежит $A \cup B \cup C$?

Для решения этой задачи воспользуемся кругами Эйлера. Обозначим количество элементов в множестве $X$ как $|X|$.

Из условия задачи нам даны следующие данные:

• $|A| = 20$
• $|B| = 17$
• $|C| = 15$
• $|A \cap B| = 9$ (пересечение A и B)
• $|A \cap C| = 8$ (пересечение A и C)
• $|B \cap C| = 7$ (пересечение B и C)
• $|A \cap B \cap C| = 3$ (пересечение всех трех множеств)

На рисунке 14 показана модель условия, где уже указаны количества элементов для двух непересекающихся областей:

• $|A \cap B \cap C| = 3$ (область, общая для всех трех множеств).
• $|(A \cap C) \setminus B| = 8$ (область элементов, принадлежащих A и C, но не B).

Заметим, что данные из текста и диаграммы противоречат друг другу. По определению, $|A \cap C| = |(A \cap C) \setminus B| + |A \cap B \cap C|$. Если использовать данные из текста, то $|(A \cap C) \setminus B|$ должно быть $8 - 3 = 5$, а не 8, как на диаграмме. Поскольку в задании требуется использовать модель с кругами Эйлера, мы будем основываться на данных диаграммы, считая значение $|A \cap C| = 8$ в тексте опечаткой.

Итак, проведем расчеты для всех непересекающихся областей на диаграмме:

1. Область пересечения трех множеств: $|A \cap B \cap C| = 3$.
2. Область $A$ и $C$, но не $B$: $|(A \cap C) \setminus B| = 8$.
3. Область $A$ и $B$, но не $C$: $|(A \cap B) \setminus C| = |A \cap B| - |A \cap B \cap C| = 9 - 3 = 6$.
4. Область $B$ и $C$, но не $A$: $|(B \cap C) \setminus A| = |B \cap C| - |A \cap B \cap C| = 7 - 3 = 4$.
5. Область только $A$: $|A \setminus (B \cup C)| = |A| - (|(A \cap B) \setminus C| + |(A \cap C) \setminus B| + |A \cap B \cap C|) = 20 - (6 + 8 + 3) = 20 - 17 = 3$.
6. Область только $B$: $|B \setminus (A \cup C)| = |B| - (|(A \cap B) \setminus C| + |(B \cap C) \setminus A| + |A \cap B \cap C|) = 17 - (6 + 4 + 3) = 17 - 13 = 4$.
7. Область только $C$: $|C \setminus (A \cup B)| = |C| - (|(A \cap C) \setminus B| + |(B \cap C) \setminus A| + |A \cap B \cap C|) = 15 - (8 + 4 + 3) = 15 - 15 = 0$.

Теперь, имея количество элементов во всех частях диаграммы, мы можем ответить на поставленные вопросы.

а) сколько элементов принадлежит только множеству A ∩ B, но не принадлежит множеству C;
Это соответствует количеству элементов в области $(A \cap B) \setminus C$. Из наших расчетов это значение равно 6. Ответ: 6

б) сколько элементов принадлежит множеству A, но не принадлежит множеству B;
Это соответствует области $A \setminus B$, которая включает элементы, принадлежащие только $A$, и элементы, принадлежащие $A$ и $C$, но не $B$. $|A \setminus B| = |A \setminus (B \cup C)| + |(A \cap C) \setminus B| = 3 + 8 = 11$. Ответ: 11

в) сколько элементов принадлежит множеству B, но не принадлежит множеству A;
Это соответствует области $B \setminus A$, которая включает элементы, принадлежащие только $B$, и элементы, принадлежащие $B$ и $C$, но не $A$. $|B \setminus A| = |B \setminus (A \cup C)| + |(B \cap C) \setminus A| = 4 + 4 = 8$. Ответ: 8

г) сколько элементов принадлежит только множеству A;
Это соответствует области $A \setminus (B \cup C)$. Из наших расчетов это значение равно 3. Ответ: 3

д) сколько элементов принадлежит только множеству B;
Это соответствует области $B \setminus (A \cup C)$. Из наших расчетов это значение равно 4. Ответ: 4

е) сколько элементов принадлежит только множеству C;
Это соответствует области $C \setminus (A \cup B)$. Из наших расчетов это значение равно 0. Ответ: 0

ж) сколько элементов принадлежит A ∪ B ∪ C?
Это общее число элементов в объединении трех множеств. Оно равно сумме элементов всех непересекающихся областей: $|A \cup B \cup C| = 3 + 4 + 0 + 6 + 8 + 4 + 3 = 28$. Ответ: 28