Номер 102, страница 173 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

102. В спортивной секции по хоккею 37 учащихся 6-х классов. Каждый из них, когда едет на тренировку, пользуется хотя бы одним видом городского транспорта: метро, автобусом, троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 7 человек, метро и автобусом — 14, метро и троллейбусом — 12, троллейбусом и автобусом — 10. Сколько учащихся пользуется только одним видом транспорта?

Для решения этой задачи воспользуемся методом, основанным на теории множеств и диаграммах Эйлера-Венна. Обозначим множества учащихся, пользующихся различными видами транспорта:

• М — метро
• А — автобус
• Т — троллейбус

Всего в секции 37 учащихся, и каждый пользуется хотя бы одним из этих видов транспорта. Это означает, что объединение всех трёх множеств содержит 37 элементов: $|М \cup А \cup Т| = 37$.

Наша цель — найти количество учащихся, которые пользуются только одним видом транспорта. Для этого мы последовательно найдем количество учащихся в каждом из пересечений множеств.

1. Находим количество учащихся, пользующихся ровно двумя видами транспорта

Из условия нам известно общее число учащихся, пользующихся каждой парой видов транспорта. Эти числа включают и тех 7 человек, кто пользуется всеми тремя видами. Чтобы найти количество учащихся, пользующихся строго двумя видами транспорта, необходимо вычесть из каждой пары это пересечение.

• Количество учащихся, пользующихся только метро и автобусом: $14 - 7 = 7$ человек.
• Количество учащихся, пользующихся только метро и троллейбусом: $12 - 7 = 5$ человек.
• Количество учащихся, пользующихся только троллейбусом и автобусом: $10 - 7 = 3$ человека.

2. Находим общее количество учащихся, пользующихся двумя или тремя видами транспорта

Теперь мы можем посчитать, сколько всего учащихся пользуется более чем одним видом транспорта. Для этого сложим количество тех, кто пользуется ровно двумя видами транспорта, и тех, кто пользуется всеми тремя.

Количество учащихся, пользующихся ровно двумя видами транспорта: $7 + 5 + 3 = 15$ человек.

Количество учащихся, пользующихся тремя видами транспорта: $7$ человек.

Итого, общее количество учащихся, пользующихся двумя или более видами транспорта, составляет: $15 + 7 = 22$ человека.

3. Находим количество учащихся, пользующихся только одним видом транспорта

Поскольку общее число учащихся равно 37, и каждый из них пользуется хотя бы одним видом транспорта, мы можем найти искомое число. Для этого из общего числа учащихся вычтем тех, кто пользуется двумя или тремя видами транспорта.

Количество учащихся, пользующихся только одним видом транспорта: $37 - 22 = 15$ человек.

Ответ: 15 учащихся пользуются только одним видом транспорта.