Номер 101, страница 173 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

101. Все участники экскурсии владеют хотя бы одним иностранным языком. 16 из них — английским, 15 — немецким, 13 — французским, 9 — английским и немецким, 6 — немецким и французским, 4 — французским и английским, 2 — всеми тремя языками. Сколько экскурсантов в группе?

Для решения этой задачи используется принцип включений-исключений для трех множеств. Этот принцип позволяет найти общее количество элементов в объединении нескольких множеств, если известны размеры самих множеств и их пересечений.

Введем следующие обозначения для множеств экскурсантов:

• $А$ — множество экскурсантов, владеющих английским языком.
• $Н$ — множество экскурсантов, владеющих немецким языком.
• $Ф$ — множество экскурсантов, владеющих французским языком.

Исходя из условия задачи, мы имеем следующие данные о количестве человек в этих множествах и их пересечениях:

• Количество владеющих английским: $|А| = 16$
• Количество владеющих немецким: $|Н| = 15$
• Количество владеющих французским: $|Ф| = 13$
• Количество владеющих английским и немецким: $|А \cap Н| = 9$
• Количество владеющих немецким и французским: $|Н \cap Ф| = 6$
• Количество владеющих французским и английским: $|Ф \cap А| = 4$
• Количество владеющих всеми тремя языками: $|А \cap Н \cap Ф| = 2$

Поскольку все участники экскурсии владеют хотя бы одним иностранным языком, общее число экскурсантов будет равно количеству элементов в объединении этих трех множеств ($|А \cup Н \cup Ф|$). Формула включений-исключений для трех множеств выглядит следующим образом:

$|А \cup Н \cup Ф| = |А| + |Н| + |Ф| - (|А \cap Н| + |Н \cap Ф| + |Ф \cap А|) + |А \cap Н \cap Ф|$

Теперь подставим известные значения в эту формулу:

$|А \cup Н \cup Ф| = 16 + 15 + 13 - (9 + 6 + 4) + 2$

Выполним вычисления:

$|А \cup Н \cup Ф| = 44 - 19 + 2$

$|А \cup Н \cup Ф| = 25 + 2 = 27$

Сколько экскурсантов в группе? Ответ: 27